教育的目的 第八章 思想的组织

（1916年在英国纽卡斯尔召开的英国促进学术进步协会大会A分会上的会长演讲）

这次演讲的主题是思想的组织 ，这个话题明显地能够处理成许多不同方式。我打算更详细地介绍逻辑科学范畴的内容，我的一些研究与之相关。我有点担心自己能否成功地做到，表明有机思想与一般科学活动所依据的某些考虑因素之间的关系。

科学发展进入到一个有机时代，这绝非偶然。有组织的思想是有组织的活动的基础。有机，是对不同元素作调整，使它们之间的相互关系可以呈现某种预先确定的性质。一篇史诗的写成是一次有机的胜利。在可以写成史诗的但未必能写出一篇好史诗的一系列事件中，它取得了胜利。它成功地把大量词语的声音、词语的联想、日常生活中发生的事件和感受的图像记忆组织起来，并结合了一种宏大事件的特殊叙述。这个有机组织起来的整体会激起人们的情感，就如弥尔顿所定义的，这些情感是朴素的、感觉的和激情的。成功的史诗数量与组织任务的明显难度成反比，或更准确地说，组织任务的明显难度与成功的史诗数量成反比。

科学是思想的组织，但那个史诗的例子提醒我们注意，科学并非任意的思想的组织。科学是某种特定类型的思想的组织，我们将努力来确定其类型。

科学是一条有两个来源的河流，即实践源头和理论源头。实践的源头是指导我们的行动以达到预定目标的欲望。例如，大不列颠民族为正义而战，他们转向了科学，科学教给他们氮化合物的重要性。理论源头是对理解的欲望。现在我要强调理论在科学中的重要性。但为了避免误解，我必须申明：我不认为一个来源在任何意义上比另一个更高贵，或本质上更有趣。我不明白，为什么努力去理解比正确地安排自己的行为更高尚 。它们都有自己坏的一面。有被邪恶目标指引的行动，也有不光彩的好奇心驱使的理解。

科学理论方面的重要性，恰恰是在实践中，由于那些发生于非常复杂的境况下必须立即采取行动的事实而呈现出来。如果我们在开始整理观念之前等待行动的必需品，在和平时期，我们将失去贸易；而在战争中，我们将失去胜利。实践的成功依赖理论家，由于其他探究的引领，他曾经到过那里，通过某种很好的机会偶然发现了相应观念的应用。我所说的理论家不是指一个在云端的人，而是一个这样的人，他的思想动机是：根据发生的事件，渴望规划正确的规则。一个成功的理论家应该对即时事件感兴趣，否则他就不太可能过分正确地规划任何有关它们的一切。当然，科学的两种源头存在于所有人身上。

我们称之为科学的思想组织是什么？现代科学的第一个方面是它的归纳，归纳逻辑的规则已经被一系列的思考者考虑过了，特别是英国的思考者：培根、赫歇尔 、J·S·密尔 、文恩 、杰文斯 和其他人。我不打算深入分析归纳法的过程。归纳是机器而不是产品，而我想要考虑的是产品。当我们了解产品时，我们改进机器才会处于更强有力的地位。

首先，有一点必须强调。在分析科学过程时，有一种倾向，即假定一组特定的概念可以适用于自然，并设想自然规律的发现在于：通过归纳逻辑，在可能存在于自然界事物之间的替代关系中，选中一个以回答这些目标。在某种意义上，这个假设是相当正确的，特别是在科学的早期阶段。人类发现自己拥有一些尊重自然的概念，例如，相当永久的物质实体的概念，并开始确定在自然中相应知觉的有关法则。但是，法则的制定却改变了这些概念，有时是通过增加精确性而温和地改变，有时是剧烈地改变。起初，这个过程不太令人注意，至少被人认为是一个约束在狭隘的界限之内的过程，不触及基本的观念。在我们现在所处的阶段，拟定概念，被我们视为和拟定经验法则一样重要。那些经验法则把宇宙中的事件按照我们设想的那样关联起来。这些拟定的概念，包括生命、遗传、物质体、分子、原子、电子、能量、空间、时间、数量和数字诸概念。在获得清晰观念的最好的方式上，我并非独断地主张。当然，只有那些致力于对相关事实进行专门研究的人才能做到这一点。成功从来不是绝对的，朝着正确的方向的前进是一个缓慢、渐进的过程，是不断地将观念与事实进行比较的结果。成功的准则是，我们应该能够拟定经验法则，也就是说，陈述关系，按照我们的设想把宇宙的各个部分联系起来。法则有这样的属性，我们可以将生活中的实际事件解释成一个相互关联的整体的零碎知识。

但是，从科学的目的来看，现实世界是什么？科学是否需要等待形而上学辩论的结束之后，才能够确定自己的主题？我认为科学有一个更平凡的起跑场地。它的任务是发现存在于构成我们生活体验的感知、感觉和情感的流变的关系。由视觉、听觉、味觉、嗅觉、触觉和更早期的理智的感觉，这些所产生的全景是行动的唯一领域。科学就是把经验用这种方式组织起来的有机思想。实际经验领域里最明显的方面就是其无序性特征。对于每个人来说，它是一个连续统一体，支离破碎，有着不能清晰区分的元素。对不同的人进行理智经验的比较，本身就困难。我坚持认为，科学始于实际体验的领域，这个领域的特征就是凌乱、失当。在建构科学哲学时，掌握这个基本真理是智慧的第一步。事实由科学塑形，却被语言的影响所掩盖，强加给我们精确的概念，好像它们才代表体验的即刻交付 。其结果是，我们想象我们直接体验了一个世界，一个与被完美定义的物体密切关联的世界。正如我们所知道的那样，在一个空间中，我们的感觉是由精确的点形成，那些点不能分成部分也没有量级值。科学思想的目标就是整洁、整齐、有条理、精确的世界。

我的论点是，这个世界是一个观念的世界，其内在关系是抽象概念之间的关系。科学哲学的基本问题是阐明这个世界与现实经验感受之间的精确关系。我请你们考虑这个问题：精确的思想如何适用于支离破碎、模糊不清的连续经验？我不是说它不适用，恰恰相反我想知道它是如何应用的。我要的解答不是一个的措辞，无论这个措辞多么才华横溢。我要的解答是一门可靠的科学分支，以缓慢的耐心构建而成，详细地展示这种对应是如何产生的。

思想的组织那伟大的第一步，完全源于科学活动的实践来源，没有混入任何的理论的搏动。它们的缓慢实现是普通理性人类得以逐渐进化的原因和结果。我的意思是，形成有关物质客体 、限定的时间流变 、同时性 、重现性 、相对位置 和类似的基础观念的概念。我们的经验之流，按照这些概念，在内心世界被排列为方便的参考系。事实上这些概念是我们常识思维所用的整套设备。在你的头脑中考虑某一把明确的椅子吧。这把椅子的概念仅仅是与这把椅子相关的所有相关经验的概念，也就是制造它的人的经验的概念。出售它的人，见过或使用过它的人，现在正经历着一种舒适的支撑感的人，加上我们对类似未来的预判，当椅子倒塌并成为柴火时，最终被一系列不同的体验所终止。这类概念的形成是一项巨大的工作，动物学家和地质学家告诉我们，这需要数千万年的时间。对此我完全相信。

我现在强调两点。首先，科学植根于被我叫做常识思维的整体装置 的东西。常识思维的整体装置，就是那个由此开端、由此重现的基准 [1] 。如果愿意，我们可以做出猜测：其他星球上的其他存在，它们根据完全不同的概念代码来安排了类似的经验，也就是说，它们在各种体验中把它们的注意力主要集中在不同关系上。但这项任务过于复杂、过于巨大，主要的梗概并未被改变。你可以对常识润色，你可能在细节上与常识抵触，你可能会对常识感到惊讶。但最终你的全部任务就是满足常识。

第二，无论常识还是科学，如果在某一方面脱离了经验中所谓实际的严格思考，都不能继续完成思想组织的任务。再想一下那把椅子，在“椅子”概念所依据的经验中，我包括了对其未来历史的预期。我应该更进一步，把对椅子所有可能的经验的想象也包括进来。在日常语言中，我们把这种想象成为可能会发生的对那把椅子的知觉 。我有一个很难的疑问，我还没想出解答的方式。但是现在，在空间理论和时间理论的建构中，如果我们拒绝承认理念的经验 ，似乎就有不能克服的困难。

我们的生活中，这种想象性的经验知觉似乎是基本的。它们被人想到时，会跟我们的实际经验结合起来。这种知觉既不是完全任意的，也不是完全被决定的。它是一个模糊的背景，在独立思想活动中只是部分地被明确了。例如，想想我们对从未见过的巴西花神的看法 。

理念的经验，紧密地关联着我们对其他人的实际经验的想象性再现。理念的经验，也跟我们在接受超越我们自身之外的复杂现实的印象时，那几乎不可避免的自我概念有关。对每一种来源和每一种类型的经验进行充分的分析，或许就可以证明这种现实及其性质。事实上，这一点毋庸置疑。对这个问题的精确阐释是形而上学的问题。我在这次演讲中力持的一个观点是，科学的基础不依赖于任何一种形而上学结论的假定，科学和形而上学两者都始于相同的直接经验的地基，并且在主要进程中以相反方向完成它们不同的任务。

例如，形而上学查究我们对那把椅子的知觉怎样把我们与某种真实实在关联起来。科学则把这些知觉收集起来作为一个确定的种类，并在它之上增加我们在特定环境下获得的、相似类型的那种理念中的知觉。这套知觉的单一概念就是科学所需的全部。

我当下的问题是探究科学的本性。科学本质上是逻辑的。其概念间的联系是逻辑上的联系，其详细断言的根据是逻辑的根据。国王詹姆斯 说：“没有主教，就没有国王。”我们可以非常自信地说：“没有逻辑，就没有科学。”对承认这个真理，大多数科学人士会感到本能般的厌恶。我认为其中的原因是，在过去的三四个世纪，逻辑理论贫瘠无果。我们可以把这种失败归因为人们对权威的崇拜，在文艺复兴时期，权威在学术界的某些方面有所增加。然后人类改变了它的权威，这个事实暂时起到了解放的作用。但最主要的事实是，我们在现代运动一开始就发现人们对文艺复兴的抱怨 ，那就是，文艺复兴时期的学者们对古典作家所作的任何声明都毕恭毕敬，学者们成了真理的注释者，而这些真理太脆弱以至于经不起转译。一门科学如果在忘却创立者上犹疑不定，它就迷失了。我把这种犹疑不定归因于逻辑的匮乏。人们不信任逻辑理论和数学的另一个原因是，人们相信演绎推理不能给你任何新的东西。你的结论包含在你的前提中，这是你已知的假设。

首先，人们对逻辑的最后的谴责，忽略了人类知识的支离破碎、不连贯的特点。对星期三的你来说，在星期一知道一个前提，星期二知道另一个前提，徒劳无益。科学是前提、推论和结论的永久性记录，通过与事实的一致性的路线来验证一切。其次，我们知道前提的时候未必知道结论。例如，在算术方面，人类不是计算着的孩子们。 任何理论，只要证明他们熟悉假设的后果，都是错误的。我们能够想象出拥有这种洞察力的存在者，但我们不是这种造物。我认为，这两个答案都是真实的和相关的。但它们并不令人满意。它们本性上太过外铄，太外在。我们想对这个问题所暗示的真正困难作些更详细的解释。事实上，真正的答案嵌入在我们关于逻辑与自然科学关系的主要问题的讨论中。

有必要大致勾勒出现代逻辑的一些相关特征。在这样做时，我将尽量避免深入的一般性讨论和细微的技术分类，它们占据了传统逻辑的主要部分。早期科学的特征是，既雄心勃勃地怀着远大目的，也有琐碎的细节处理。在这样一种阶段，逻辑已经僵化。

我们可以分辨出逻辑理论的四个部分。通过一个不那么遥远的类比，我将这些部分或部门称为算术部分、代数部分、一般函数理论部分和分析部分。我的意思不是说算术出现在第一部分，代数出现在第二部分，以此类推。而是这些名称暗示了每一部分思想的某些特质，这些特质让人想起在算术中、在代数中、在数学函数的一般理论中，以及在数学上分析特定函数中相似的特质。

第一个部分，也就是算术阶段，处理确定命题之间的关系，就像算术处理确定的数字那样。考虑任意一个明确的命题，称之为“ p ”。我们设定总有另一个命题是与“ p ”直接矛盾的，称之为“not- p ”。当我们有两个命题， p 和 q 时，我们可以从它们和它们的矛盾中形成衍生命题。我们可以说，“ p 或 q 中最终会有一个命题是真的，或许两个都是真的”，我们把这个命题称为“ p or q ”。我可以顺便提一句，一位在世的最伟大的哲学家 说过，词“or”的这种用法，也就是“ p or q ”的命题，在二选一（either）的意义上可能是真实的，在两者都是（both）的意义上也可以是真实的，使他对准确的表达感到绝望。我们无法理解他的愤怒，但是我们必须勇敢地面对他的愤怒。

因此，我们得到了四个新的命题，即，“ p or q ”、“not- p or q ”、“ p or not- q ”和“not- p or not- q ”。我们称这些命题为一组衍生的选言命题 。到现在为止，总共有八个命题： p 、not- p 、 q 、not- q 和四个衍生的选言命题。这八个命题中任何一对都可能被采纳，并在前面的处理中代替 p 和 q 。因此，每一对都会产生八个命题，其中一些命题可能是以前得到的。以这种方式继续进行下去，我们得到了一组愈加复杂的命题，但它们根本上起源于这两个原始的命题 p 和 q 。当然，只有少数几个命题是重要的。同样地，我们能够从三个命题 p 、 q 、 r 开始，或从四个命题 p 、 q 、 r 、 s 开始，等等。这些集合中的任何一个命题都可能是真的或是假的。它别无选择。无论它是真的或假的，都称之为该命题的“真值” 。

逻辑探究的第一部分是，当我们知道其中一些命题的真值时，就去解决我们所知道的这些命题的真值。就探究的价值而言，这种探究并不十分深奥。表达调查结果的最佳方式，是一个我现在还不想考虑的细节。这个探究形成了算术阶段。

逻辑的下一部分是代数阶段。算术和代数的区别是：在算术中，考虑的是确切的数字；在代数符号中，即引入代表任何数字的字母。数字的概念也被扩大了。这些字母代表着任何数字，有时称为变量，有时称为参数。它们的本质特征是不确定，除非它们所满足的代数条件无疑地确定了它们。它们有时被称为未知数。带字母的代数公式是空白形式。当用确定的数字代入字母时，它就成为确定的算术语句。代数的重要性在于其对形式研究的贡献。现在，我们考虑下面的命题——

汞的特殊比热是0．033。

这是一个确定的命题，在某种限定下，它是真的。但这个命题的真值跟我们没有直接关系。我们仅用一个字母来代替汞，以字母作为某种未确定物的名称，我们可得——

x 的特殊比热是0．033。

这不是一个命题，它已被罗素称为命题函数。命题函数是对一个代数表达的逻辑类推。让我们写下 f （ x ）来代表任何一个命题函数。

我们甚至还能进一步进行概括，说：

x 的特殊比热是 y 。

这样我们就得到了另一个命题函数 F （ x ， y ），有两个自变量 x 和 y ，等许多诸如此类的参数。

现在，考虑一下 f （ x ）。 x 存在着取值范国，在此范围内 f （ x ）是一个命题，真的或假的。在这个范围之外对 x 取值， f （ x ）根本不是一个命题，无论真的或假的。它也许对我们有一些模糊的暗示，但它没有一个明确肯定的意义。例如，

水的特殊比热是0．033。

这是一个假的命题；并且——

美德的特殊比热是0．033。

我应该想到，这根本不是一个命题。尽管它的组成部分在我们头脑中建立了各种联系，它既非真命题也非假的命题。在使 f （ x ）具有意义的范围内的取值，被称为自变量 x 的参数“类型”（type）。

但 x 还有一个取值范围，其中 f （ x ）是一个真命题。这是满足 f （ x ）的自变量的那些值的集（class）。这个集可能一个成员都没有，或者处在另一种极端，自变量的整个类型都是这个集合的成员。

于是，我们设想两个一般命题，它们涉及享有同样逻辑形式的不定数目的命题。更确切地说，这些命题是同一个命题函数的各种值。其中一个命题是，

取值范围内 x 取每一个值， f （ x ）都会产生一个真命题。

另一个命题则是，

x 取某一个值时， f （ x ）是一个真命题。

给定两个（或更多）命题函数 f （ x ）和φ（ x ）。它们具有相同的自变量 x ，我们便形成导出函数，即

f （ x ）or φ（ x ）， f （ x ）or not-φ（ x ）

等等，带着矛盾如此这般继续下去，就像在算术阶段一样，一个无终止的命题函数的聚集体。同样，每个命题函数也产生两个一般命题。从任何这样的命题函数的集合中都会产生一般命题，产生这些一般命题的真值之间的相互联系。真值之间的相互联系理论形成了数学逻辑中简单而优雅的一章。

在逻辑的代数部分，类型的理论出现了，如我们已经提到的那样。它不可以仅仅因为介绍上的错误而被我们忽略。类型理论至少需要通过某个可靠的假设被确定下来，即使它还没有抵达问题的哲学根基。尽管罗素卓越的工作已经开启这门学科，但是逻辑学科的这个部分是晦涩而困难的，还没有最终被阐明。

对现代逻辑的最终推动来自于由弗雷格 和皮亚诺 各自独立发现的逻辑变量的重要性。弗雷格比皮亚诺走得更远，但用了一种不幸的符号论使他的工作显得如此晦涩，没有人能完全理解他的意思，因为他本人没有发现这一点。但这项运动具有很长的历史，可以追溯到莱布尼茨 ，甚至可以追溯到亚里士多德。其中，卓有贡献的英国人是德·摩根 、布尔 和艾尔弗雷德·肯普爵士 ，他们的功绩是一流的。

第三个逻辑部分是一般函数理论的阶段。在逻辑语言中，我们在这一阶段进行了从内涵到外延的转换，并考察了外延理论。取命题函数 f （ x ），有一个集合，其成员满足 f （ x ），或者说是 x 的取值范围。但这个取值范围的成员也可以是满足另一个命题函数φ（ x ）的集。这个情况下，我们有必要研究如何表示这个集，用一种与它的任何成员所满足的各种命题函数无关的方式，这个集得是唯一的表示 [2] 。我们必须要做的是分析关于一个集的命题性质，即，那些命题，它们的真值取决于这个集本身，而不是取决于集所指示的特定意义 。

此外，还有一些命题是关于所谓个体的，这些个体通过描述性词语来表明。例如，关于“现在的英国国王”，他确实存在；和“现在的巴西皇帝”，他并不存在。这些命题，更复杂了，但是也更类似。涉及一个自变量的函数牵涉到集；涉及两个自变量的命题函数也是类似的问题，但是更复杂，牵涉到“相关”的概念；相似的，三个自变量的命题函数产生三角相关，等等。这一逻辑部分是罗素一个人完成，通过始终保持做基础性的工作，罗素作出了独特贡献。我把这称为函数理论的一部分，因为它的思想对于逻辑表示函数的构造是必不可少的。用逻辑表示函数的构造，包括普通的数学函数作为特例，如正弦函数、对数函数等。如果我们要达到第四阶段，在这三个阶段中的每一个阶段，我们必须逐渐引入适当的符号象征。

第四个逻辑部分是分析阶段，主要研究特殊逻辑结构的性质。确切地说，是研究集和特殊种类的集的关联。整个数学都包括在这里。所以这个部分非常庞大。事实上，这不多也不少正是数学。但它包括对数学观念的分析，迄今为止这种分析还没有包括在这门科学的范围内，甚至根本没有人考虑到这一点。这一阶段的精义在于，通过适当的构造，阐述了由数字、数量、时间、空间等理论构成的应用数学的大框架。

即使在简要的概述中，我们也不可能解释，如何从集的概念和相关的概念中，包括在第三部分中确立的许多相互关联中，将数学发展出来。我只能提到这个过程的标题：“数学原理”，这个工作由罗素先生和本人充分发展而来。在这一发展过程中，有七种特殊的相互关系，每种都具有特定的意义。第一种包括一对多、多对一、一对一的相关性。第二种包括连续的关系，即某个域的成员按连续的相关性来顺序排列，使得在以关系定义的意义上，该域的任何一个成员在其他成员前或后。第三种包括归纳关系，即数学归纳理论所依赖的相互关系。第四种包括选择关系，这是算术运算的一般理论和其他地方所要求的关系。正是由于这种选择关系，才产生了著名的乘法公理。第五种是向量关系，从中产生了数量的理论。第六种是比率关系，它把数字和数量联系起来。第七种是几何中出现的三角关系和四角关系。

直白列举如上面所述的技术名称，并不是很有启发性。尽管这可能有助于理解学科的界限。请记住，这些名字是技术性的，毫无疑问是富于暗示性的，但在严格定义的意义上使用。我们遭受了许多批评者的非议，他们认为，只要对这些术语字典的含义有一点儿了解，就足以批评我们的程序。例如，一对一的关联，依赖于只有一个成员的集的概念。而且，我们定义这个概念时，不需要诉诸数字1。所有人想要多样性的概念。因此，当集 α 只有一个成员，

如果（1）命题函数 x 不是 α 的一个值，

满足这个命题函数， x 取值的集就不是 x 的相应值的整个类型。

如果（2）命题函数， x 和 y 是 α 的值，且 x 不等于 y ，

这个命题函数就是错误的，无论在那个相应类型中的 x 和 y 的取值是什么。

对于较高的有限基数成员 ，类似的程序显然是可能的。因此，一步一步地，当前数学观念的整个循环都能够进行逻辑定义。这个过程是详细而费力的，而且，就像所有的科学一样，对由轻率话语组成的捷径一无所知。首先，这个过程的本质是，根据命题的形式来构造概念，或者说，以相关命题函数的形式来构造概念；其次，通过参考逻辑代数部分得到的结果，证明关于概念的基本真理。

我们可以看到，在这个过程中，特殊的不可确定的数学概念，还有关于数字、数量和空间的特殊的先验数学前提，这一切已经统统消失了。数学仅仅是一种分析推论的工具，只要这些推论取决于命题的形式，推论就可以从任何特定的前提中得出，由常识提供，或者通过更精确的科学观察得出。某些形式的命题在思想中不断出现。我们现有的数学是对与这些跟形式有关的推论的分析。无论是从实际效用还是从理论意义上来说，在某种程度上，这些推论都是重要的。在这里，我说的是实际存在的科学。数学的理论定义必须包括其范围内的所有推论，那些仅仅取决于命题形式的推论。但是，当然没有人愿意发展数学中没什么重要性的部分。

对逻辑观念的匆促总结，启示了一些反思。问题来了，有多少种形式的命题？答案是，无穷无尽。由此可以看出，逻辑科学被认为是贫乏无果的原因。亚里士多德通过构想一个命题的形式的概念，并通过在形式的基础上发生的推论，从而创立了这门科学。但他把命题局限于四种形式，现在我们把它们叫作A、I、E、O。只要逻辑学家被这种不幸的限制所困扰，就不可能有真正的进步。再有，在形式论中，亚里士多德和后来的逻辑学家的理论，都非常接近逻辑变量理论。但是，正如科学史告诉我们的那样，去接近一个真正的理论，与掌握一个真正理论的精确应用，是完全不同的两码事。所有重要的事情，都是由那些没有发现它的某人在此前说出来的。

还有，逻辑推理不明显的一个原因是，逻辑形式不是一个通常进入人们思考的主题。常识推论很可能是凭借盲目的本能进行的，通过从具体命题到具体命题的那种演绎，它受某种观念的习惯性联想所指导。因此，在大量的材料面前，常识是行不通的。

一个更重要的问题是，基于观察的归纳法与演绎逻辑的关系。归纳法和演绎法的追随者之间有一种对立的传统。在我看来，这就像是一条虫子的两头在彼此争吵。对于任何值得拥有的知识，观察和演绎都是必要的。如果不借助于命题函数，我们就无法得出归纳法。例如，以观察到的事实为例：

这个物体是汞，它的特殊比热是0．033。

形成的命题函数则是，

要么 x 不是汞，要么它的特殊比热是0．033 [3] 。

归纳法是对一般命题真理性的假设，即假设上述命题函数对相关类型中，x的每一个值都是真的。

但有人反对说，这一过程及其后果是如此简单，以致一门精心设计的科学已经过时了。同样地，一个英国水手在海上航行时，他就会知道海水含盐。那么，对海水进行精细的化学分析有什么用处呢？有一个普遍的答案：对于你一直使用的方法，你知道的可能并不太多；还有一个专业的答案：逻辑形式和逻辑含义并不那么简单，整个数学就是这个效应的证据。

逻辑方法研究的一个重大用处，不在于详尽推演的领域，而是指导我们研究科学主要概念的形成。考虑一下几何学，例如，组成空间的那些点是什么？欧几里得告诉我们，这些点不可分割和没有量级。但是，点的概念，是如何从作为科学起点的那些感官知觉里导出的呢？当然，这些点肯定不是由感觉直接导出的。到处都是暗示我们点的概念的东西，我们可能会看到或不愉快地感觉到。但这是一种少有的现象，当然也不能确保由点组成的空间概念。我们在空间性质方面的知识并不基于点之间关系的观察，它来自物体之间关系的经验。物体之间有这样一种基本的空间关系，一个物体可能是另一个物体的一部分。我们尝试来定义“整体和部分”的关系，被部分占据的那些点是被整体占据的那些点中的一部分。但“整体和部分”概念要比“点”的概念更加基本，所以这种定义其实是恶性的死循环。

因此，我们要问，是否可以给出某种其他“空间上的整体和部分”的定义？我认为可以这么做。如果我弄错了，对于我的一般的论证也没有根本性的影响。我们得出了这样的结论：一个广延的物体，不过是由所有的知觉者对它的知觉的集合而已，无论实际的知觉者还是观念的知觉者。当然，它是某一确定种类知觉的集合，而不是任意知觉的集合。那什么是确定种类知觉，我还没有明确定义，除非我用恶意的方法说它们是对事物的感知 。现在，一个物体的某一部分的知觉，是组成这整个物体的知觉的一个部分。于是，两个物体a和b，就是两个知觉的集合。当b的集合被包含在a的集合中时，b就是a的一部分。按这个定义的逻辑形式可以得出，如果b是a的一部分，而c是b的一部分，那么c是a的一部分。因此，“整体到部分”的关系是可传递的。再有，允许一个物体是它自身的一部分，这是很方便的。这只不过是你如何定义的问题。怀着这种理解，关系就是反身的关系。最后，如果a是b的一部分，而b也是a的一部分，那么a和b必须相同。这些“整体和部分”的性质不是新鲜的假设，它们遵循我们定义的逻辑形式。

如果我们假设空间在理念上的无限可分割，那么我们不得不做出一个假定，即，我们假定：每一种知觉集合都是一个广延物体，包含其他知觉集合。其中，被包含的知觉集合也是广延物体，且跟包含它的知觉集合不同 。这个假定几乎可说是理念的感知理论的大体草案。除非你以某种形式来制定几何学，否则几何学将不复存在。我阐述的假设并非我独有的。

然后，就可以来定义我们所说的点。一个点就是广延物体的一个集合。广延物体，用日常语言来说，就是包含了这个点的那些物体。如果没有预先假定点的观念，这个定义会是相当复杂的，而我现在没有时间陈述它。

把点引入几何学，好处在于它们之间逻辑关系的表达很简单。对于科学而言，定义的简单并不重要，但是相互关系的简单是必要的根本。这条法则还有一个实例：物理学家和化学家把一个简单的概念，比如说连小孩儿都能懂的“一把椅子”，分解成一个令人困惑的概念——分子、原子、电子和光波的复杂舞蹈。因此，他们得到了逻辑关系更简单的概念。

由此设想的空间是常识经验世界的外现空间性质的精确构想。它不一定是物理学家设想空间的最佳方式。一个基本的必要条件是：空间中的常识世界和物理学家的世界之间的对应关系，应该是确定的和相互的。

现在，我不再阐述与自然科学相联系的逻辑功能。我试图把它作为组织原则来展示，分析那些从直接现象衍生出来的概念，审查那些被假定为自然规律的一般命题的结构，在相互影响的方面建立彼此的关系，推断在给定环境下我们可以预期的现象。

逻辑，如果被恰当地使用，并不会给思想上锁。它给我们自由，最重要的是，给我们魄力。不合逻辑的思想在得出结论时犹豫不决，因为它从不知道自己指的是什么，也不知道自己能假定什么，或能在多大程度上信任自己的假定，以及对假定作出任何修改会带来什么后果。那些未经训练的大脑，在与手头主题相关的建构性逻辑中，会对从各种假设出发的结论一无所知。在预测归纳法则时，也会相应地迟钝。在这种相关逻辑中的基本训练，毫无疑问是以积极的心态去思考案例中的已知事实，直接观察。但是，在有可能进行精细推论的地方，这种精神活动就需要对抽象的逻辑关系进行充分的研究。这就是应用数学。

在科学的形成中，没有观察的逻辑，或没有逻辑的观察，两者都寸步难行。我们不妨把人性设想成在青年和老年之间的一场厮杀。青春不由年龄来定义，而是用要成就某事的创造性冲动来定义。那些在一切事情面前希望不犯一点儿错误的人，是上了年纪的人。逻辑是从老年人手里传递给年轻人的橄榄枝，这嫩枝在年轻人手里具有创造科学的魔法般的属性。

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[1] 原文为：That is the datum from which it starts，and to which it must recur.——译者注

[2] 当一个取值范围，既符合函数 f （ x ），又符合函数φ（ x ）的时候，我们描述符合函数 f （ x ）的取值范围时所用的集就要避免让人产生误解，让人们不要因为取值范围相同而混淆两个函数。因此这种集都是有且只有一个。——译者注

[3] 原文为：Either x is not mercury，or its specific heat is 0.033.译成中文之后，意思表达得有点不明朗。更干脆一点的说法是：除非 x 不是汞，否则它的比热就是0.033。——译者注