算学启蒙 新编算学启蒙卷下

松庭朱世杰编撰

之分齐同门九问

今有五十六分之二十一，问约之几何？答曰：八分之三。

术曰：先列分母五十六于上位，次列分子二十一于下位，以子两次减其母，余一十四，母复减其子，余七，子又减其母，亦余七，乃得等数，为约法，别列分母五十六，分子二十一，各以法约之，合问但有除分者余不尽之数不可弃之。弃之则不合其源，可以为之分言之。之分者，乃乘除往来之数，还源则不失其本也。故九章设诸分于篇首者为何？谓之分者，乃开算之户牖也。缘其义闳远，其术奥妙，是以学者造之鲜矣。故张上建有云：不患乘除之为难，而患通分之为难。是也。且合减课分之术，乃群其母而齐其子，母法子实而一。平分者，母互乘，子副并，为平实，母相乘为法，以列数乘。未并者，各为列实，以列数乘法，减多益少而平。经分者，钱为实，人为法，而一。重有分者，同而通之。乘分者，子相乘为实，母相乘为法，而一。约分者，治数之繁也。&有四分之二，减而言之，即二分之一也。可约则约，可半则半。比类前问：欲买马五十六匹，已买二十一匹，问。几分中买讫几分？

答曰：八分中买三分也。

今有甲丝八分两之七，乙丝七分两之六，丙丝六分两之五。问合之得几何？答曰：二两。

一百六十八，分两之九十五。

术曰：依之七，之六，之五。&&&母互乘子右，上得二百，九图布算八分，七分，六分&&&十四，右中得二百八十八，右下得二百八十，三位并之，共得八百六十二，为实，左行分毋相乘，得三百三十六，为法，实如法而一，不满法者各半之。合问。

今有甲钱九分钱之五，减其乙钱七分钱之三，问余几何？答曰：六十三分钱之八。术曰：依之五之三，&&母互乘子右上得三十五，右图布算，九分七分&&下得二十七，以小减多余八，为实，左行分母相乘，得六十三，为法，实如法而一，不满法者命之。合问。

今有甲持绢七分尺之五，乙持绢四分尺之三，问孰多，多几何？

答曰：

乙绢多多二十八分尺之一。

术曰：依之五之三，&&母互乘子右，上得二十，右，下图布算，七分四分&&得二十一，以小减多余一，为实，分母相乘，得二十八，为法，实如法而一，不满法者命之。合问。

今有甲米六分斗之五，乙米五分斗之四，丙米四分斗之三。问减多益小各几何？而平。

答曰：各平一百八十分。之一百四十三

术曰：依之五，之四之三，&&&毋互乘子右，上得一百，右图布算，六分五分，四分&&&中得九十六，右下得九十。各为列实，副并得二百八十六，为平实。左行分母相乘，得一百二十，为法，又三之得三百六十，亦三因右行未并者，平实，法、实各半之，得数减右上，七减右中，一而益右下，得各平也。合问。今有六人，五分人之四，分银八两，七分两之三，六分两之五，问人得几何？答曰：一两。一千四百二十八，分两之五百一十七。术曰：依之，三之五，&&母互乘，子并之，得五十三，寄图布算七分六分&&位左行相乘，得四十二，以乘银八两，得三百三十六，并入寄位，共得三百八十九，以人分母五因之，得一千九百四十五，为实。又列六人通分内子得三十四，以银分毋四十二乘之，得一千四百二十八，为法，实如法而一，得一两，不满法者命之。合问。

今有田阔一十三分步之九，长一十八分步之十一，问为田几何？

答曰：二十六分步之十一。

术曰：依右行子相乘&&列分母相乘，得二百三十四图布算，右行母相乘，&&为法，分子相乘，得九十九，为实，实如法而一，不满法者各九约之。合问。

今有钱三百四十六贯八百文，买丝二百九十八斤，问斤价几何？

答曰：一贯二百六十三文。一百四十九，分文之一百一十三。

术曰：列钱数于上，为实，以丝数为法，实如法而一，不满法者各半之。合问。

今有丝二百九十八斤，斤价一贯一百六十三文，一百四十九分文之一百一十三，问直钱几何？

答曰：三百四十六贯八百文。

术曰：列共丝于上，斤价通分内子，得一十七万三千四百，以乘上位，得五千一百六十七万三千二百，以分母一百四十九约之，合问。堆积还源门：十四问今有茭草底子，每面五十四束，问积几何？答曰：一千四百八十五束。术曰：副置五十四束，下位添一束，以乘上位，得二千九百七十，半之，得积。合问。今有圆箭一束，外周五十四只，问积几何？答曰：二百七十一只。术曰：副置五十四只，上位添六只，以下位乘之，得三千二百四十，为实，以圆法十二而一，加心箭一只，合问。

今有方箭一束，外周四十四只，问积几何？

答曰：一百四十四只。

术曰：副置四十四只，各添四只，相乘，得二千三百四，为实，以一十六为法，而一，合问。

今有三𤰄&果子，每面底子四十四个，问共积几何？

答曰：一万五千一百八十个。

术曰：列底子添三，以底子乘之，得数，又添二，又以底子乘之，得九万一千八十，为实，以六为法，实如法而一，合问。

今有四角&果子，每面底子四十四个，问共积几何？

答曰：二万九千三百七十个。

术曰：列底子添一个半，以底子乘之，得数，又添半个，又以底子乘之，得八万八千一百一十，为实，以三为法，实如法而一，合问。

今有圆毬一只，径一尺六寸，问积几何？答曰：二千三百四寸。

术曰：列一尺六寸，再自乘，又九因得三万六千八百六十四寸，以十六而一，合问。今有金毬一只，周三尺六寸，厚四分，问重几何？答曰：一百八十一斤。一十一两六钱四分八厘。

术曰：列三尺六寸，以三而一，得一尺二寸，为虚实之径，再自乘，得一千七百二十八寸，又九之，十六而一，得九百七十二寸。乃虚实共积也。寄位。又列径一尺二寸，减上下厚八分，余一尺一寸二分，再自乘，得一千四百四寸九分二厘八毫，又九因十六而一，得七百九十寸二分七厘二毫，乃虚积数。以减寄。位余金积寸也。寸下分者，身外加六为两。金自方一寸，重一斤。合问：

今有茭草积一千四百八十五束，问底面几何？答曰：五十四束。

术曰：列积倍之，得二千九百七十，为实，以一为从方，一为廉法，开平方除之。合问。

今有圆箭二百七十一只，问外周几何？答曰：五十四只。

术曰：列积减一，余以十二乘之，得三千二百四十，为实，以六为从方，一为廉法，开平方除之。合问。

今有方箭一百四十四只，问外周几何？答曰：四十四只。

术曰：列积减一，余以十六乘之，得二千二百八十八，为实，以八为从方，一为廉法，开平方除之。合问。

今有三角&果子积一万五千一百八十个，问底子一面几何？答曰：四十四个。

术曰：列积六之，得九万一千八十，为实，以二为从方，三为从廉，一为隅法，开立方除之。合问。今有四角&果子积二万九千三百七十个，问底子一面几何？答曰：四十四个。术曰：列积三之，得八万八千一百一十，为实，以半个为从方，一个半为从廉，一为隅法，开立方除之。合问。今有立圆积二千三百四寸，问为立圆径几何？答曰：一尺六寸。

术曰：列积寸，以十六乘之，九而一，得四千九十六寸，为实，以一为隅法，开立方除之，即得。合问：

今有三角、四角果子各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不没，四角底子一面七个。问二色底子一面各几何？

答曰：三角底面五个，

四角底面一十二个。

术曰：六之共积，得四千一百一十，于上位列不及七个张三位。上位倍之，加一得一十五，中位加一得八，下位得七，三位互乘。得八百四十，以减上位，余三千二百七十，为实，倍不没七加一得一十五，自之得二百二十五于上位。又列不及七加一，倍之，得一十六，以不及七乘之，得一百一十二，又加二，并入上位，共得三百三十九，为从方。又列不没七加一得八，六之得四十八，为从廉，以三为隅法，开立方除之，得三角底子一面五个，加不及七个，即四角底子一面一十二个。合问盈不足术门：九问今有人分银，不知其数，只云：人分四两，剩一十二两，人分七两，少六十两。问银及人各几何？答曰：银一百八两，人二十四。术曰：依七雨&少以盈不足维乘之，右上得八，图布算四两剩&&十四，左上得二百四十，并之得三百二十四，为实，盈不足相并得七十二，为法，列七两、四两，以少减多，余三两，约法，实实为银数，法为人数。合问。

今有人买羊，不知其数，只云：人出四百，盈一贯七百四十，人出三百，盈八百四十。问羊价没人各几何？

答曰：

羊价一贯八百六十文、九人。

术曰：依三百盈&&以两盈维乘所出率，左上得图布算四百盈&&三百三十六贯，右上得五百二十二贯，以少减多，余一百八十六贯，为实，两盈相减，余九百为法，列四百、三百相减，余一百，约法，实实为羊价，法为人数。合问。

问雨不足者，同此术。

今有人买牛，不知其数，只云：人出五百，盈五千，人出三百，适足。问牛价没人各几何？

答曰：

牛价七贯五百文，

人二十五。

术曰：列盈五千为实，列所出率，以少减多，余二百为法，实如法而一，得人数，以适足三百乘之，即牛价合问。问不足，适足者，同此术也。今有人持钱买丝，不知其数，只云买一斤不足。五十七文买一十二两，盈一十五文。问：人持钱没丝斤价几何？答曰：人持钱二百三十一文，

丝斤价二百八十八文。

术曰：依十二两，盈&&以盈不足维乘之，左上得二图布算十六两，不足&&百四十，右上得六百八十四，并之得九百二十四，为实，盈不足相并，得七十二为法，又列十六两，内减十二两，余四两。约法，实实为人持钱，法为丝两价。身外加六，即斤价。合问：

今有人买马，不知其数，只云九人出七贯，不足四贯七百；七人出八贯，盈一十八贯三百。问马价及人各几何？

答曰：

马价五十三贯七百文，

人六十三。

术曰：依八千七人，盈上二&&以人数维乘所出率，左上图布算七千九人，不足上一&&得四万九千，右上得七万二千，副置相减，得二万三千，为约法，又以盈不足维乘之，左上得八亿九千六百七才万，右上得三亿三千八百四十万，并之得一十二亿三千五百一十万，为实，人数互乘，各得六十三。亦以盈不足维乘之，左中得一百一十五万二千九百，右中得二十九万六千一百，并之得一百四十四万九千，为法，各以二万三千约之，实为马价，法为人数。合问：今有甲米，不知其数，贮于四硕五斗囤中，乙误入粟，满而相和，今变为粝米，共量得三硕四斗四升。问甲米、乙粟各几何？粝米六升，折粟一斗。答曰：甲米一硕八斗五升，

乙粟二硕六斗五升。

术曰：假令甲米二硕一斗，有余一斗，令之，一硕五斗，不足一斗四升，盈不足术求之，依图甲米不足，&&维乘上二位相并，得四硕四斗，布算甲米盈。四升，为实，以盈不足相并，得二斗四升，为法，实如法而一，得甲米，反减四硕五斗，余即乙粟。按此甲米二硕一斗，乙粟二硕四斗，以六因之。得米一硕四斗四升，并之得三硕五斗，四升，课于三硕四斗四升外多一斗，故曰有余。若令甲米一硕五斗，乙粟三硕，以六因。之得米一硕八斗，并之得三硕三斗，课于三硕四斗四升，外少一斗四升，故日不足。合。

问：今有人携酒游春，不知其数，只云遇务而添酒一倍，逢花而饮三斗四升。今遇务、逢花，俱各四次，酒尽壶空。问：元携酒几何？

答曰：三斗一升八合七勺半。

术曰：假令元酒三斗二升，有余二升，令之元酒三斗，不足三斗，乃以盈不足术求之，依图元酒不足，&&维乘上二位，相并，得一硕二升，布算元酒有余&&为实，以盈不足相并，得三斗二升，为法，实如法而一，按元酒三斗二升，倍之，内减三斗四升，余三斗；又倍之，又减三斗四升，余二斗六升，又倍，又减三斗四升，余一斗八升，又倍，又减三斗四升，外多二升，故曰有余。令之三斗，倍之，减二斗四升，余二斗六升，又倍，又减三斗四升，余一斗八升，又倍，又减三斗四升，余二升，又倍，得四升，反减三斗四升，外少三斗，故曰不足。合问：今有松竹并生，只云：松初日长五尺，竹长二尺，松日自半，竹日自倍。问松竹几何？日而长等。答曰：二日九分日之二，各长七尺七寸九分寸之七。

术曰：假令二日不足一尺五寸，令之三日，有余五尺二寸五分，乃以盈不足术求之，依图三日有余&&维乘上二位，并得一丈五尺，为布算，二日不足，&&实，并盈不足得六尺七寸半，为法，实如法而一。不满法者，各以七寸半约之，得日数也。求长者，各以第三日所长，以日分子乘之，如日分母而一，各得日分子之长，又各增二日长数，得松、竹等长也。按此二日松长七尺五寸竹长六尺乃竹不及松长一尺五寸故曰不足令之三日松长八尺七寸半，竹长一丈四尺，乃竹却过松五尺二寸半，故曰有余。合问：

今有鹅鸭九十九只，直钱九百三文。只云：鹅九只，直钱一百二十三文，鸭六只直钱四十六文。问：二色及各价几何？

答曰：

鹅二十四只，直钱三百二十八文。

鸭七十五只。直钱五百七十五文。术曰：假令鹅二十七双，鸭七十二只，有余钱一十八文。若令鹅二十一只，鸭七十八只，不足钱一十八文。乃以盈不足术求之。依图&&&维，乘左，上得四百八十六。右鹅、鸭、钱、布算&&&上，得三百七十八，并之得八。百六十四，左中得一千二百九十六，右中得一千四百四，并之得二千七百，各自为实，并盈不足得三十六，为法而一，上为鹅数，中为䳟数。按此鹅二十七双，直钱三百六十九文，鸭七十二只，直钱。五百五十二文，并之，共得九百二十一文。课于九百三文外多一十八文故日有余若令鹅二十曰双直钱二百八十七文鸭七十八双直钱五百九十八文并之共得八百八十五文课于九百三文外少一十八文故曰不足合问方程正负门九问今有罗四尺，绫五尺，绢六尺，直钱一贯二百一十九文；罗五尺，绫六尺，绢四尺，直钱一贯二百六十八文；罗六尺，绫四尺，绢五尺，直钱一贯二百六十三文。问罗、绫、绢尺价各几何？答曰：罗九十八文，绫八十五文，绢六十七文。

术曰：罗积绢&&&&便，以&右行直减中左二行。依图，罗绫绢&&&&中行罗正一，绫正一，绢负布算罗绫绢&&&&二钱，正四十九；左行罗正二，绫负一，绢负一钱，正四十四。又以右上罗四尺遍因中、左二行，仍用右行同减异，加中行罗空绫正一，绢，正十四钱，正一贯二十三文。又以右行二次同减异，加左行罗、空绫正十四，绢，正十六钱，正二贯二百六十二文。又以中行绫十四次直减左行罗、绫空，余绢一百八十尺，钱一十二贯六十文。上法下实而一，得绢尺价。以乘中行绢，就减中行钱，余，即绫尺价。就乘右行绫五尺，得四百二十五，以减右下钱。又以绢尺价乘右行绢六尺，得四百二文，又减右下钱，余三百九十二文。以四约之，得罗尺价。合问：

今有二马三、牛四、羊价，各不满一万。若马添牛一，牛添羊一，羊添马一，各满一万。问三色各一，价钱几何？

答曰：马三千六百文，牛二千八百文，羊一千六百文。

术曰：马二借牛&&○钱万&以右上马二遍因左行，以依图○牛三，借羊钱万，&&&右行直减之，马空牛负一，布算，借马&○羊四钱万，&&羊正八钱，正一万。又以中行牛三遍因左行，以中行异减同，加左行马、牛位空，余羊二十五，钱四万。上法下实而一，得羊价。中行钱内减一羊价，余，以三约之，得牛价。右行钱内减一牛价，余半之，即马价。合问。

今有四兔三鸡，价过一千，多半兔之价；三兔四鸡，价不满一千，少半鸡之价。问鸡、兔各一，直钱几何？

答曰：

兔二百二十二文，二十七分文之六。鸡七十四文。

二十七分文之二。术曰：依&&&乃七兔六鸡，直钱二千。兔鸡钱六兔，九鸡亦直钱二千。

先图布算，&&&以左行直减右行，讫，却以左上六遍因右行，仍以左行同减异，加右行。右下钱位空正，无人负之。右上兔空，余鸡二十七，钱二千，上法下实而一，得鸡价。就通分内子，得二千，以乘左行鸡九，得一万八千寄位。又分母二十七，通左行钱得五万四千，内减寄位，余三万六千，以六而一，得六千。以分母二十七约之，得兔价。合问。

今有五鸡四兔，共重十斤半，兔重鸡轻，交换其一，秤之重适等。问：鸡、兔各一重几何？

答曰：鸡一十五两，一十一分两之三；兔一斤六两，一十一分两之十。术曰：依&乃四鸡&一兔，重八&十四两。鸡兔重一鸡，三兔亦重八十四两。

图布算，&&&以右上鸡四遍因左行，仍以右行直减之，左上鸡空，余兔十一，重二百五十二两，上法下实而一，得兔重。通分内子，得二百五十二寄位。以分母十一通右下重，得九百二十四，以减寄位，余六百七十二，以四而一，得一百六十八。又以分母十一约之，得鸡重。不满法者命之，合问。

今有甲、乙、丙持丝，不知其数。甲云：得乙丝强半，丙丝弱半，满一百四十八斤；乙云：得甲丝弱半，丙丝强半，满一百二十八斤。丙云：得甲丝强半，乙丝弱半，满一百三十二斤。问甲、乙、丙各丝几何？

答曰：甲八十四斤，乙六十八斤，丙五十二斤。

术曰：甲分母，强半弱半丝&&&&以左行直减右行，余甲正，依图弱半乙分母，强半丝&&&&一，乙正二，丙负三，丝正一，布算强半弱半，丙分母丝&&&&十六。又以左上三遍乘中、右二行，仍以左行减之，中上甲空乙正十一，丙正五，丝正二百五十二；右上甲空乙正五，丙负十三，丝负八十四。又以中行乙十一遍乘右行，仍以中行五次同减异加甲、乙空，余丙一百六十八，丝二千一百八十四，上法下实而一，得一十三斤，乃一分之率也四之即丙丝。以十三乘中行，丙五，以减中行丝，余者十一除之，四因得乙丝。又十三乘左行，丙四，以减左行丝，又减乙一十七斤，余以三约之，四因即甲丝。合问：今有红锦四尺，青锦五尺，黄锦六尺，价皆过三百文。只云：红锦四尺，价过青锦一尺；青锦五尺，价过黄锦一尺；黄锦六尺，价过红锦一尺。问三色各一尺，钱几何？答曰：红锦九十三文，一百一十九分文之三十三。青锦七十三文，

一百一十九分文之一十三。

黄锦六十五文。一百一十九分文之六十五。

术曰：红负空三百&&○&以右上红四遍乘左行，仍依图空青负三百○&&&用右行异减同加，负母，人负。左布算负空黄三百&○&&上空，青负一，黄，正二十四钱，正一千五百。又以中行五遍乘左行，亦以中行直减之，余黄锦一百一十九尺，钱七千八百文。上法下实而一，得黄锦尺价通分内子，得七千八百。寄左。又以一百一十九通中行钱，得三万五千七百，加入寄左，共得四万三千五百，以五而一，得八千七百，以分母约之，得青锦尺价。又以分母通右行钱，又加入八千七百，共得四万四千四百，以四而一，得一万一千一百，以分母约之，得红锦尺价也。合问：

今有人卖绫三罗五，以买十二绢，余钱一万；卖绫四绢四，以买七罗，适足；卖罗二绢四，以买六绫，少钱一万。问绫、罗绢价各几何？

答曰：

绫二千八百，罗二千，绢七百。

术曰：绫罗绢，余钱&&&&以右行直减中行，同减异加，依正。依图绫罗绢负术&&&○入之。却三之。又以右行减布算绫罗绢少钱&&&&之，绫空，余罗正四十一，绢负六十钱，正四万。又以右行二度直减左行，绫空。又以中行罗四十一遍乘左行，仍以中。行十二度减之，绫罗空余绢一百钱七万，上法下实而一，得绢价。以乘中行绢六十得数，加入四万，共得八万二千，以四十一除之，得罗价。以绢价乘右行绢十二得数，加入一万，共得一万八千四百，内减五罗价一万，余，以三约之，得绫价。合问：

今有直田，句弦和取二分之一，股弦和取九分之二，共得五十四步。又句弦和取六分之一，减股弦和三分之二，余有四十二步。问句、股弦各几何？

答曰：句二十七步，股三十六步，弦四十五步。

术曰：前分母十八乘共步，得九百七十二，乃是九个句弦和，四个股弦和。又后分母乘余数，得七百五十六，是三句弦和，减十二股弦和数。如方程正负入之。依图&&&以右行三次异减同加左行□弦和、股弦和步数，布算。&&&左中得股弦和四十个，左下得三千二百四十步，上法下实而一，得股弦和八十一步。就以十二乘之，得数，以减右下七百五十六，余二百一十六，以三约之，得句弦和七十二步也。以股弦和乘而倍之，得一万一千六百六十四，为实，乃弦和和幂也。以一为廉，平方开之，得一百八步。即弦和和。副置。上位减股弦和即句，下位减句弦和即股。又句弦和内减句，余即弦。合问：今有直田，句弦和取七分之四，股弦和取七分之六，二数相减，余二十二步。又股弦和取三分之一，不及句弦和八分之五，一十四步。问句、股弦各几何？

答曰：句二十一步，股二十八步，弦三十五步。

术曰：以前分母四十九乘余数，得一千七十八，乃是四十二，减二十八个股摘弦和，内句弦和余数。又以后分母二十四乘不及步数，得三百三十六，乃是八个股弦和，减一十五个句弦和余数也。如方程正负术入之。依图&&&以右上遍乘左行，仍以右行句弦和、股弦和步数。布算&&&异减同加，左行左中余四百六，左下二万五千五百七十八，上法下实而一，得六十三步，乃股弦和。八之，加入右下，得数，以十五约之，得五十六步。即句弦和。立天元一为弦○，&以减股、弦和余为股，以减句、弦和余为句，&&自之为句幂，&&&&又列股自乘为股幂，&&&并入句幂，与弦幂相消，得开方。式。&&&平方开之，得弦，减股弦和即股，减勾弦和即勾。合问：开方

释锁门：三十四问

今有平方幂四千九十六步，问为方面几何？答曰：六十四步。

术曰：列幂四千九十六步为实，借一算于六步之下，名曰廉法，常超一位，至百步下止。乃上商六十，于廉法之上，实数之下，亦置六百，名曰方法。乃命上商除实三千六百，实余四百九十六，倍方法得一千二百一，退得一百二十，廉法再退。又上商四步，于廉法之上，实数之下，亦置四步，方法得一百二十四，乃命上商除实恰尽，合问：

今有立方幂一万七千五百七十六尺，问为方面几何？

答曰：二十六尺。

术曰：列幂一万七千五百七十六尺，为实，借一算于六尺之下，名曰隅法。常超二位，约实至千尺下止。乃上商二十，以隅法因上商二十，得二千，于隅法之上、方法之下，名曰廉法。又廉法因上商二十，得四千，于廉法之上实数之下，名曰方法。乃命上商除实八千，实余九千五百七十六，以隅法因上商二十，加入廉法。又廉法因上商二十，加入方法。又隅法因上商二十，加入廉法。方法得一万二千，廉法得六千。方法一退，廉法再退，隅法三退。续又上商六尺，以隅法因上商六尺，加入廉法。又廉法：因上商六尺，加入方法，得一千五百九十六，乃命上商除实恰尽。合问：今有积五万九千四百一十四步一十六分步之一，问为平方面几何？答曰：二百四十三步、四分步之三。

术曰：列全步通分内子，得九十五万六百二十五，为实，以一为廉，平方开之，得九百七十五。乃每而积分也。又列分母为实，一为廉，平方开之，得四，报除，得二百四十三步。不满法者命之。合问。今有积一十三万三千七百六十八尺三百四十三分尺之二百八十八，问为立方面几何？答曰：五十一尺、七分尺之一。术曰：列全步通分内子，得四千五百八十八万二千七百一十二，为实，以一为隅、立方开之，得三百五十八。乃每面方积分。又列分母为实，一为隅，立方开之，得七，报除。不满法者命分。合问。

今有积一百一十二万九千四百五十八尺六百二十五分尺之五百一十一，问为三乘方几何？

答曰：三十二尺五分尺之三。

术曰：列全步、通分内子，得七亿五百九十一万一千七百六十一，为实，以一为隅，三乘方开之，得一百六十三。乃每面方积分。又列分母为实，以一为隅，开三乘方而一，得五，报除。合问。

今有积五百八十人步，问为圆田径几何？答曰：二十八步。

术曰：列积四之三而一，得七百人十四，为实，以一为廉，平方开之，得圆径。合问。

今有积四百六十八步强半步，问为圆周几何？答曰：七十五步。

术曰：列全步通分内子，得一千八百七十五，以十二乘之，得二万二千五百。又分母四，再自乘，得六十四，乘之，得一百四十四。万为实，以一为廉，平方开之，得一千二百，又分母自乘，得十六而一。合问：今有直田八亩五分五厘，只云长平和得九十二步。问长平各几何？答曰：平三十入步，长五十四步。术曰：立天元一为平，○，&以减云数，余为长，用平乘起为积○。&&寄左，列亩通步，与寄左相消，得开方式&&&平方开之，得平，以减和步，即长合。

问：按此以古法演之，和步自乘，得入千四百六十四，乃是四段直积，一段较幂也。列积四之，得八千二百八，减之，余有较幂二百五十六，为实，以一为廉，平方开之，得较一七六步加和，半之，得长，长内减较，即平也。今以天元演之，明源活法，省功数倍，假立一算于太极之下，如意求之，得方、廉、隅从正负之段，乃演其虚积，相消相长，而脱其真积也。子故于逐问备立细草，图其纵横，明其正负，使学者粲然易晓也。

今有直田五亩八十八步，只云长平，并之得七十四步。问较步几何？答曰：十八步。

术曰：立天元一为较○，&加入云数为二长，&&又列云数内减一较，余为二平式&&&二长二平增乘，起为四段积，&○&寄左列亩通步，内子四之，与寄左相消，得开方式&○&平方开之，得较合。

问：

今有直田四亩九分，只云长平差二十五步，问长平各几何？

答曰：平二十四步，

长四十九步。

术曰：立天元一为平○，&加入云数为长，以平乘起为积。○&&寄左，列亩通步，与寄左相消，得开方式&&&平方开之，得平，加差即长合。

问：今有直田六亩一十六步，只云长平较三十步，问长平和几何？答曰：和八十二步。术曰：立天元一为和○，&加入云数为二长，○三以别列和，以减云数，○&&余为二平，以二长二平增乘，起为四段积，&○&寄左列亩通步，内子四之，与寄左相消，得开方式年，○&平方开之，得和合问：今有方圆田各一段，共地九亩四分五厘，只云方田面与圆田径适等。问方面、圆径各几何？答曰：方面圆径各三十六步。术曰：立天元一为方面，亦为圆径。○&自之为方积○○。&寄左。又列圆径自之，三因四而一，为圆积&○○○，加入寄左，得式○○。&再寄，列亩通步，与再寄相消，得开方式&○&平方开之，得方面、圆径

合问：

今有方圆田各一段，共地七亩二十八步，只云方面不及圆径一十三步。问圆径、方面各几何？

答曰：

圆径三十八步，

方面二十五步。

术曰：立天元一为圆径○，&减不及，余为方面，自之，&&&就分四之，为四段方积，&&&寄左。又列圆径自之，三因，亦为四段圆积，○○&加入寄左，得&&&再寄。列亩通步，内子四之，与再寄相消，得开方式。&&&平方，翻法开之，得圆径，减不没，即方面。合问：

今有直田九亩八分，只云长取八分之五，平取三分之二，相并得六十三步。问长平各几何？答曰：平四十二步，长五十六步，术曰：依&&母互乘子，乃得长十五个平平十六个分母。长图布算，&&相乘，得二十四，以乘六十三。得一千五百一十二。

即是十五长一十六，平数也。

立天元一为平○，&以十六乘之，减云数，余为一十五长，&&&用平乘之，为一十五段积。○&&&寄左。列亩通步，以一十五乘之，与寄左相消，得开方式。&&&平方开之，得平，以平除积，得长。合问：今有直田一十一亩九分，只云长平和取十一分之二，长平较取十三分之七，较平差取八分之五，多于一平二步。问长平各几何？答曰：平四十二步，长六十八步。术曰：依&&&母，互和较差乘子，乃得和二百八个，较六百一十。图布算，&&&六个，差七百一十五个。分母相乘，得一千一百四十四，以多于二步乘之，得二千二百八十八。别得一百九长，内减一百二十二平余数。立天元一为长○，&一百九之内减余数，式&&为一百二十二段平，以长乘之，为一百二十二段积。○&&寄左，列积，以一百二十二乘之，与寄左相消，得开方式。&&&翻法开之，得长，以长除积，得平。合问：

今有直田一十九亩六分，只云长取强半，平取弱半，和取中半，较取太半，为共不没二长二步、少半步。问长平各几何？

答曰：

平五十六步。

长八十四步，术曰：依&&&&母，互乘子，得长七十二，长平和较个平二十四。图布算&&个&和&四十八个，较六十四个，分母相。乘得九十六，以乘不没，得二百二十四步。别得八长，内减八平，余八较。今从省八约之，得二十八步为一较，即一长内减一平。立天元一为平○，&加入二十八步为长，&&用平乘起为积○，&&寄左，列亩，以二百四十乘之，与寄左数相消，得开方式。&&&平方开之，得平，以平除积，得长也。

今有圆田一段，内有方池，容边而占之，外余地八亩六十五步七分半，只云四弧矢各阔一十三步。问圆径、池方各几何？答曰：圆径九十一步，池方六十五步。术曰：立天元一为圆径○，&内减倍之云数，&&余为池方面自之，就分四之，为四段方积。&&&寄左。又列圆径自之，三因○○，&亦为四段圆积，内减寄左。&&&再寄列亩通步内子四之，与再寄相消，得开方式。&&&平方开之，得圆径，内减倍之云数，余即池方。合问。今有方田，内有圆池占之，外余地二亩六步，只云四角径各长九步九分，问池径、田方各几何？答曰：池径一十八步，田方二十七步。

术曰：立天元一为池径○，&加入倍之云数，为方斜，就分五之，为七段方田，&&自之为四十九段方积，&&&就分四之，为一百九十六段方积也。&&&寄左。又列圆径自之，三因为四段圆积，就以四十九乘之○○&亦为一百九十六段圆积，以减寄左，&&&再寄列亩通步内子，以一百九十六乘之，与再寄相消，得开方数。式&&&平方开之，得池径，加入倍之，角径五之七而一，得田方。合问。今有直积一千二十四步，只云平除长，长除平，二数相并，得四步二分半。问长平各几何？答曰：平一十六步，长六十四步。

术曰：立天元一为小平，○，&减云数，余为小长，以小平乘之，为小积○，&&与小积一算相消，得开方式。&&&平方开之，得小平二分五厘。再立天元一为大长，○&以乘小平为大平，以大长乘之为大积。式○○&与元积相消，得开方式&○。&平方开之，得大长，以小平乘之，即大平。合问：今有直积四千九十六步，只云长除平，平除长，二数相减，余三步七分半。问长平各几何？答曰：平三十二步，长一百二十八步。术曰：立天元一为小长○，&内减云数，余为小平，以小长乘之，为小积○，&&与小积一算相消，得开方式。&&&平方，翻法开之，得小长四步，以除直积，得一千二十四步，为大平幂，平方开之，得大平三十二步，以小长乘之，即大长也。

合问：今有大小方田二段，共积六千五百二十九步，只云小方面乘大方面得三千一百二十步，问二方面各几何？

答曰：大方面六十五步，小方面四十八步。

术曰：别得今数为弦幂，云数为直积，倍之减弦幂，余有二百八十九步，平方开之，得较一十七步。立天元一为大方面○，&以减较步，余为小方面，&&以大方面乘之，为直积○，&&与只云数相消，得开方式。&&&平方，翻法开之，得大方面，减较即小方面。

合问：今有大小方田二段，只云：大方幂内减小方面，余一千二百六十入步，又云：小方幂内减大方面，余七百四十八步。问大小方面各几何？答曰：大方面三十六步，小方面二十八步。

术曰：立天元一为小方面○，&自乘，内减又云数为大方面&○，&自之为大方幂。

&○&○&寄左又列小方面○&加入先云数&&亦为大方幂与寄左相消，&&&○&三乘方，翻法开之，得开方式，得小方面，加入先。云数共得一千二百九十六，为实，一为廉，平方开之，得大方面。合问：今有直积二千六十五步，只云较乘和得二千。二百五十六，共问长平各几何？答曰：平三十五步，长五十九步。

术曰：立天元一为平○，&自之为平幂。式○○&加入云数，为长幂，又以平幂乘之，为积幂也。○○&○&寄左，列积自之，与寄左相消，得开方式：&○&○&三乘方，开之，得平，以平除积为长也。今有直田长平相乘，为实，平方开之，得数，加长平和得一百二十九步，只云差三十九步。问长平各几何？

答曰：

平二十五步，

长六十四步。

术曰：立天元一为和○，&以减先云，余为开方数，&&自之，就分四之，为四段直积，&&&又加差幂，得式。&&&寄左，列和，自之，为和幂，○○&与寄左相消，得开方数式。&&&平方开之，得和八十九。步减差，半之，得平加差。半之，即长合问。

今有大、中、小方田各一段，共积一万四千三百。八十四步，只云方方较等。其三方面相和，得二百四步。问三方面各几何？

答曰：

大方面八十四步，

中方面六十八步，

小方面五十二步。

术曰：列云数，三约之，得中方面六十八步。立天元一为较○，&加入中方面为大方面，&&自之为大方积。&&&又列较步减中方面，余为小方面，&&自之为小方积。&&&又列中方面自乘为中方积，&三位并得&○&寄左。列积与寄左相消，得开方数。式&○&平方开之，得较一十六步，加中方面，得大方面，中方面减较，即小方面也。今有古徽、密率、圆田各一段，共积五千六百七十一步，五十分步之十三，只云古径不没密径七步，密径不及徽径七步。问三圆径各几何？答曰：古径四十二步，密径四十九步，徽径五十六步。

术曰：立天元一为古径，○&自之，三因为四段古积，就以七百乘之，为二千八百段古积。○○&又列古径加七步，为密率，径&&自之，又二十二乘之，为二十八段密率，&&&就以一百乘之，为二千八百段密积也。&&&又列密径加七步，为徽径，&&自之，又以一百五十七乘之，为二百。

段徽术&&&就，以十四乘之，亦为二千八百段徽积也。

&&&三位并之

&&&寄位，列积五千步百七十二步，通分内子，以五十六乘之，与寄位相消，得开方数式。&&&平方开之，得古径，加差七，得密径，又加七，得徽径也。今有圆田一段，周为实，平方开之，得数，加入圆积，共得一百一十四步，问周、径各几何？

答曰：周三十六步，

径一十二步。

术曰：立天元一为圆径，○，&自之，三因为四段圆积，以减四之共数，得&○&余，为四个外周，开方数自乘，为十六个外周也。&○&○&寄左，列径三之为外周，以十六乘之，得○，&与寄左相消，得开方数式

&&&○&三乘方翻法开之，得圆径十二步，三之即周三十六步也。今有方台一，所，计积二百五十八尺，只云台高不及下方二尺，却多如上方一尺。问上下方及高各几何？答曰：上方五尺，下方八尺，高六尺。术曰：立天元一为上方，○，&加入一尺为台高&&高，却加二尺，为下方，&&自乘得，&&&又上方自乘得○○，&又上下方相乘得○，&&三位并之，又以高乘之，为三段方豪积。&&&&寄左，列积三之，与寄左相消，得开方式。&&&&立方开之，得上方五尺，加一尺得高六尺，就加二尺，得下方八尺，合问。今有圆台一，所，计积五千四十尺，只云上下周相和得一百八尺，高不及上周一十六尺，问上下周及高几何？

答曰：上周三十六尺，

下周七十二尺，

高二十尺。

术曰：立天元一为台高，○&加一十六尺为上周，&&以减于相和数，为下周，&&自乘，&&&又上周自乘，&&&又上下周相乘，得&&&三位并之，又以高乘之，为三十六段圆台积。○&&&寄左，列积，以三十六乘之，与寄左相消，得开方数式。

&&&&翻法开之，得台高，加不及，即上周，又上周，减相和数，得下周也。今有方锥积九千四百八尺，只云高为实，平方开之，得数少如下方二十二尺，问下方及高各几何？

答曰：下方二十八尺，高三十六尺。

术曰：立天元一为开方数，○，&自乘为高也。&&&再列开方数，加少如为下方也。&&自之又高乘之，为三段方锥积数也。○○&&&寄左，列积三之，与寄左相消，得开方式：&○&&&三乘方开之，得六尺，为开平方数，加少如得下。方三十八尺，又六尺，自之即高。合问：今有圆锥积三千七十二尺，只云高为实，立方开之，得数不没下周六十一尺。问下周及高各几何？答曰：下周六十四尺，高二十七尺。术曰：立天元一为开立方数○，&再自乘，为高也。○○○，&再列开立方数，加不及，为下周也。&&自之又高乘之，为三十六段积。○○○。&&&寄左，列积三十六，乘之，与寄左相消，得开方式&○○&&&四乘方，开之，得三尺，为开。立方之数，加不没，得下周六十四尺。又列三尺，再自乘，得高二十七尺。

合问：今有立方、立圆、平方各一，共积一百二十七万七千七百二十四尺，只云立圆径不没立方面十四尺，却多平方面二十八尺。问三事各几何？

答曰：立方面九十八尺，

立圆径八十四尺，平方面五十六尺。

术曰：立天元一为立圆径，○，&加十四尺，为立方面，&&再自乘，又以十六乘之，得&&&&为十六段，立方积寄左。又列立圆径减二十八尺，为平方面也。&&自之，又十六乘之，为十六段平方积。

&&&寄左。又列立圆径，再自乘，九之，亦为十六段立圆积。○○○&三位并之，共为十六段积。&&&&再寄，列共积十六，乘之，与再寄相消，得开方式。&&&&立方，开之，得立圆径，加不及即立方面；减多即平方面也。今有立圆、立方、平圆、平方各一，立圆从古法，平圆从密率。共积一万八千五百八十六尺，只云立圆径多于平圆径二尺，却少于立方面八尺。立方面如平方面二分之一，问四事各几何？答曰：立圆径一十六尺，立方面二十四尺，平圆径一十四尺，平方面四十八尺。术曰：立天元一为立圆径，○，&减二尺，余为平圆径，&&自之，就以二十二乘之，为二十八段积，&&&就分四之，为一百一十二段圆密积。&&&又列立圆径加八尺，为立方面，&&再自乘，又以一百一十二乘之，为一百一十二段立方积也。&&&&又列立圆径，再自乘九因。为十六段积○○○，&又七之为一百一十二段立圆积○。○○&又列立方面二之，为平方面&&自乘，又以一百一十二、乘之，亦为一百一十二段平方积也。&&&四位共并为一百一十二段积。&&&&寄左列，共积一万八千五百八十六尺，以一百一十二乘之，得二百八万一千六百三十二，与寄左相消，得开方式&&&&立方，开之，得立圆径一十六尺，加八尺，得立方面减。二尺为平圆径，倍立方面即平方面。合问：

今有立方、立圆、平方、古圆田、徽圆田各一，共积三万三千六百二十二尺，二百分尺之三十七。只云立方面不及立圆径四尺，多如徽圆径三尺，立圆径如平方面三分之一，古圆周与立方面适等。问五事各几何？

答曰：立方面二十四尺，

立圆径二十八尺，平方面八十四尺，古圆周二十四尺，徽圆径二十一尺。

术曰：立天元一为立方面，亦古圆周。○&加不及四尺，为立圆径。&&再自乘，九因为十六段积，&&&&以二百二十五乘之，为三千六百段立圆积。&&&&又列立圆径三之为平方面，&&自之为平方积，以三千六百乘之，为三千六百段平方积。○○○○○○。又列立方面减三尺，为徽圆径也&&&也。&&自之，又周一百五十七乘之，为二百段积，&&&以十八乘之，为三千六百段，徽圆积。&&&又列古圆周，即立方面，自之为十二段，积，以三百乘之。为三千六百段古圆积。○○&又列立方面再自乘为一段积，以三千六百乘之，

为三千六百段，立方积，○○○&五位并之，得

&&&&寄左列积通分内子以十八乘之，与寄左相消，得开方式。&&&&立方开之，得立方面。古圆周等数也。加四尺，得立圆径，三之为平方面。又列立方面减三尺，即徽圆径也。合问。新编算学启蒙卷终同治十年江南机器制造局影写重刊望海岛术

出杨辉算法

今有望海岛，立二表，各五丈，丈当作步。相去千步，前后参直。从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与前表参齐。复从后表却行一百二十七步，人目著地，取望岛峰，亦与后表参齐。问：鸟高没岛，距前表几何？

答曰：岛高四里五十五步，

岛距前表一百二里一百五十步。六尺为二步，三百步为一里。

术曰：以表高乘表间，以相多为法，除之，得岛高。以前表却行乘表间，以相多为法，除之，得岛远。按表高者，五步也；表间者，千步也。前表却行者，一百二十三步也。相多者，前后表却行，相减之，余四步也。每退千步，得嬴四步，故嬴满表高，是得岛高。每进千步，递减四步，故减尽却行，是得岛远。然岛高必须更加表高方准。

今有竿，不知其高，从竿脚量距二十五尺，立十尺之表，表后五尺，立四尺窥穴，望见表端与竿参齐，问竿高几何？答曰：四十尺。术曰：以窥穴减表高，得六尺，以乘量距为实，以表后为法，除之，又加表高，得竿高。按：距远五六，得高六六，更加窥下，是得竿高。算学启蒙识误

金序守全南道全州府尹。案：明史列传二百八朝鲜传：王京为朝鲜八道之中，东阻鸟岭、忠州，西则南原、金州道相通。又嘉靖八年八月，陪臣柳溥上言：国祖李旦，系本国全州人，据此，则全当是全字。赵序续撰重羌案：羌当作差。重差见九章序。赵城元镇案：元当作元。玉鉴祖序，赵元镇已与之版而行矣。元镇者，博雅之士也。九归除法歌括四一二十一。案：二十一，据数当为二十二。

九归除法。弟二十七问易䐉几何？案：集韵脑侧吏、侧持二切，训肥貌，与问不协。据上文当作脑，折变互差。弟十三问，小字双行注：石下倍之。案：上文右上得二千，此则石下当作右下折变互差。弟十五问左上倍左中三因左下。案：三左字，据术皆当为右字。田亩形段。弟十四问梭田形图。案：图内中阔线，据形当为从线，原图误作横线之分齐同。弟一问，小字双行注：乃开算之户牖也。案：牖讹，当从片，作牖之分齐同。弟五问。减多益小。案：前注云益少。据此，小当作少。开方。释锁弟八问开方式案：上层实二千五十二，当为负，误作正。开方。释锁弟十问开方式：案：上层实一千一百七十六，当为负，误作正开方。释锁弟十一问，别列和以减云数。案：云数非本数，据术以减，当作内减。开方。释锁弟十四问：以十六乘之，减云数。

案：云数非减数，据术以字错简，当在乘之之下，作以减云数。开方。

释锁弟十九问小积式：

案：下层天元幂一负，当超二位，与中层四天元正上下相齐，原式误未超位。开方。

释锁弟二十问开方式：案：中层方三步七分半，当为负，误作正。开方。

释锁弟二十一问：以减较步，余为小方面。

案：较非本数，据术以减，当作内减。直积式。案：中层十七天元，当为负，误作正。开方。

释锁弟二十四问，又加差幂得式。案：下层天元幂四，当为正，误作负。开方。

释锁弟二十五问，又列较步减中方面。

案：较为天元，无步数也。又中方面非减数，据术步当作以求差分和弟四问：补交换一只而秤之。

案：交换应作各减。坿释凡鱼豕之讹，已见识误矣。其或术文不显，苟非释明，无以探源，故复坿释于次。上卷

库务解

税弟十一术：以不税者二十九、四十七相乘。案：先税三十分取一，以子减母，余不税者二十九；次税五十分取三，亦以子减母，余不税者四十七。折变互差弟二术，列欠钱数五之为实，以三十为法。案：为法之数，各以银一两、钱一贯，为适等之率。银一两，折钱五贯，合钱一贯，共得六贯，因欠钱数五之，故亦五。通六贯得三十，为法。又术省乘、较捷、折变互差

弟三术，列欠钱数五之为实，以五十五为法。案：此与弟二术同，唯弟二问银钱适等，此则二分银，一分钱，故以银二两折钱十贯，合钱一贯，共得一十一贯亦五，通得五十五为法。又术较捷，折变互差。

弟八术：列共粟，以米六升乘之为实，以二斗三升五合为法。案：共粟既以米六升乘之，是六升为分母矣，故以分母通粟一斗，得粟六斗。副置上中下三位，各以米六升、豆八升、粟一斗除之，上得米一斗，中得豆七升五合，下得粟六升，并之得二斗三升五合。折变互差。

弟十二术：列粟数，以五升一合二勺乘之为实，以二斗二升八合为法。案：此与弟八术同，唯此则糙米二停，故以上文乘率五升一合二勺为分母，通粟一斗，得粟五斗一升二合。副置上下二位，上位倍之，为糙米二停。各以糙米八升、细米五升一合二勺除之，上得糙米一斗二升八合，下得细米一斗，并之得二斗二升八合。

中卷田亩形段弟十五术：副置阔二十八步，上位六之为长，下位倍之为广。乃长广相乘，得九千四百八步，乃是二个四分半积。以二个四分半除之，为田积步。案：阔即斜也。此形田中心积为一段斜自乘幂，并田四隅积亦一段斜自乘幂，其田四边积则为四段斜乘方幂。合而计之，乃倍斜乘二方一斜之和幂，故倍下位为广。其长当为二方一斜之和。然方五斜七云者，约率也。实则斜率七，其二方一斜之和为一十七，又七分之一，通分内子，得一百二十，为七段二方一斜之和率为法之数。当以七段和率一百二十乘田阔，以七段斜率四十九除之，为田长。各以二十约之，得和率六、斜率二个四分半。

解见四。元玉鉴、锁套、吞容弟九问细草下差分均配弟四。术：列共分钱内，虚加一贯八百为实，并各人分率得一十一，为法。案：乙如甲，五分之三，却多如丙。钱一贯八百，今既虚加多丙钱一贯八百，则是丙与乙等各为三分，甲独为五分，故并甲、乙、丙三人分率得一十一分。下卷开方。释锁弟十五术夹注：别得一百九长，内减一百二十二平余数。案：此其率者，以上文夹注和二百八个、即二百八平，二百八长也。较六百一十六个，即六百一十六长，内减六百一十六平也。差七百一十五个，即一千四百三十平，内减七百一十五长也。三数相并，得一千二十二平、一百九长之共数于上位，乃以分母一千一百四十四，通多于一平，得一千一百四十四平，以减上位，余一百九长，内减二百二十二平。

开方。释锁弟十六术夹注：别得八长，内减八平，余八较。

案：此与弟十五术同，以上文夹注长七十二个、平二十四个和、四十八个即四十八平，四十八长也。较六十四个即六十四长，内减六十四平也。四数相并，得八平、一百八十四长之共数于上位。乃以分母九十六，通不及二长，得一百九十二长，以上位减之，余八长，内减八平，亦即谓之八较。惟扬后学罗士琳茗香氏斠诠：是书与四元玉鉴同为元大德时朱松庭先生所𬤥，二书久佚，玉鉴之名犹见于梅文穆公赤水遗珍中，是玉鉴尚有流传之本，而是书竟绝无知者。向为玉鉴补草时，知是书与玉鉴相表里，深以未见为憾。近闻朝鲜以是书为算科试士，因邮浼都中士访获是书，为朝鲜重刊本。卷首有朝鲜通政大夫、守全南道观察使兼兵马水师节度使、巡察使、全州府尹金始振序。又元大德惟扬学算赵城元镇原序各一首。窃惟唐时选举，有明算科，自周髀以迄王孝通之缉古，号为十经，分限年岁。赵序淳风之解十经，即此谓耳。厥后科目虽废，去古未远，文献可征，故言算要当以宋、元时秦、李、朱三家为大备。秦氏箸数学九章，而古正负开方术显；李氏箸测圜海镜、益古演段二书，而古立天元一术传。朱氏集秦、李之大成，而兼而有之，又推广以至四元，于是实事求是，无隐不见，无微不彰矣。案秦书自序淳祐七年，是岁丁未为元定宗二年。李氏二书，海镜在演段之先，自序戊申当为元定宗三年，计秦、李两家书先后廑差一年，秦、李同时，不待言矣。是书成于大德已亥，上距淳祐丁未五十三年，朱与秦之逮见不逮见未可知。考砚坚序演段在至元壬午先，已亥才十七年。莫若序玉鉴谓朱氏周游湖海二十余年，似朱与李犹得相没。又案：杨辉字谦光，钱塘人，箸算法六卷，阮相国文选楼亦有钞本。一曰田亩比类乘除捷法上，二曰田亩比类乘除捷法下；三曰、算法通变本末，四曰、乘除通变算宝，五曰、法算取用本末，六曰、续古摘奇算法。其书浅陋不足观。金序谓舍易趋艰，斯言韪矣。杨自序德祐乙亥为宋瀛国公元年，亦即元至元十二年，在海镜后，演段前，计先是书二十四年，杨与李当为同时，朱与杨或亦可逮见。综核诸家，先后相距，未逾六十年。以时考之，彼时算名最箸，如李受益、郭邢台诸公，亦适值其间，所以秝法大明。又如杨序所称中山刘先生没，史仲荣玉鉴祖序所称平阳蒋周等，虽其书不传，其人莫考，而其一时人才之盛，聪明精锐，已可槪见，宜乎算之超越今古也。降及明季，以空谈为便，算学寖失，书亦湮亡，致顾箬溪辈妄删天元细草，遂成绝学。今十经惟缀术失传，余与秦、李诸书次弟复出，皆收入四库全书。而玉鉴亦经吾乡阮相国续获钞录，斯学因得复昌。是书在元时为赵氏所刊，赵为惟扬人，乃惟扬转不可复得，不知何时流入彼中，足见远人向学，知重是书，重为刊梓，历五百余岁，而得以复归故土，岂非朱氏与吾乡有绿，抑斯文未坠，冥冥中有嘿为呵护者邪？是书匪特与玉鉴堪为表里，且可与宋已前诸古算书互相参核，以斠今法之异同，似浅实深。昔梅征君谓归除歌括始于前明吴信民九章比类。是书九归除法，惟一归如一进，五归添一倍，九归随身下三句与今文小异，余悉相同。证以杨氏乘除通变算宝卷中所载九归新括案：杨书九归新括下云：以古句人注两存之。其大字古句在上，云：归数求成十归余，自上加半而为五，计定位退无差。其每句下小字双行，注云：九归见一下，一见四五作五遇九成十；其八归见一下，二见四作五遇八成十；其七归见一下，三见三五作五遇七成十。诸语虽文。句不同，而信非始于吴信民也可知。征君又谓古算用筹，一至五皆从，列，六至九，皆横一于上，以当五。是书明从横诀，一从十横，百立千僵，凡十二句，与孙子算经、夏侯阳算经约略并同，证以乾凿度卧算为年，立算为日，要皆详明算位，固不廑为用筹言之也。若夫古人行文，有与今法不同者，如今之所谓弦和较，即句较和，亦即股较较，古则单言和较者，乃句股和较之省文，已详释于玉鉴细草之校演后记矣。又如明程大位算法统宗衰分章载有四六差分、二八差分诸术，虽本杨书所引指南算法，递取几分之几为率，固亦古法之遗。然是书差分均配弟七、弟八两问，亦有四六、二八诸差分，皆以下一字折差，与弟十问二八折、三七折同例。证以秦氏数学九章卷五赋役下弟二问均科緜税下二等，比中等六四折差科率求之，而用四折者亦合。又东原戴氏初从永乐大典中得刘徽所注之九章，因正负术有正无人负之，负无人正之注，谓无人为无对也。句未分晓，误以人字为传写之讹，悉改作入字。是书明正负术下小字双行。案引九章注谓人作入，非是，妄改不始于戴氏，在元时已然。郑注周礼有重差夕桀，钱晓征詹事，疑夕桀为互乘之人，见养新录。不知重差、夕桀二名，已杂出秦书卷四测望章。此古名之廑见者。是书求一、穿韬、双据、互换等名，洎贵贱反率、假令率，亦皆近今罕传。案假令率本刘徽所注之九章盈不足章，其贵贱反率亦九章粟米章谓为其率，反其率是已。求一与秦书所载不同。杨辉算法通变有求一代乘除，又有求一除等术，是已。穿韬者，代乘代除也。杨书各设三百题，谓之穿除。证以夏侯阳算经，亦有身外添几减几，并同此法。盖今之飞归实穿韬之一穜互换之名，并见杨书续古摘奇及秦书卷六钱谷章。或名互换，或名互易，其中有所谓雁翅乘，与是书盈不足术维乘大略相似。维乘之名，九章秦书互见。大氏诸率皆滥觞于宋元，以前，然则古法之班班可考，尚赖是书复显而为之佐证焉。特朝鲜依元大德时赵氏原椠本重雕，其田亩形段、弟十四问梭田形图骑版心割去上方人鱼尾，与玉鉴首列四元自乘演段及五和五较三图同病。盖宋、元时凡书之有图者，多为蝴蝶装，如今之册页，作两翼相合对形，故虽占中缝，于图无碍，非若今时书线装反折，致一图而分阴阳面各半。然是书之所重不在图，姑仍其旧。惟朝鲜本之版扇，视近刻玉鉴细草本较广，今但尠为缩狭影刊，庶朱氏二书通为一律。至款式一依朝鲜原刻，其当时俗写字如那作那、台作台、假或作假，又厘亩之类，不可枚举，亦不校改，俾存原本之真，慎之至也。至于是书𬏉田之𬏉，并见玉鉴，或疑字书所无。案刘徽所注之九章本亦作皖，李籍音义谓当作宛，字之误也，盖取尔雅宛中、宛邱，注中央隆高之义，今刻从李所改。杨辉算法作畹，考说文畹下注：田三十亩也，与中央隆高义迥别。夏侯阳算经九田注：形如覆半弹丸，术曰径乘，周四而一，与此合。九𬏉音近，畹𬏉形近似。𬏉虽不见于字书，殆如明邢云路古今律秝考幂积之幂，别作&同，为算书习用字。且鹖冠子天权篇射蜚垂&之射字&字亦字书所无，无可疑义。又是书递减递因之递字凡数见递在集韵十二齐下注田黎切，姓也。训与术文不协。据术义当为递。集韵递或作递，想因涕递字形相似而讹。抑递递亦算书省笔假借字，无有确据，未设以臆见率改，致后之学者滋惑。金序谓更以杨辉望海岛一章添入卷尾。案杨辉算法卷末所载海岛题解，盖本诸刘徽海岛算经，彼中未见刘书，不知所本，遂以为出自杨辉。其前题今有望海岛立二表，各五丈，下小字双行，注云：丈当作步。此亦彼中所校。据。杨书及刘徽本经并云高三丈，盖彼中钞本误三为五，因不合数，转疑不误之丈字为误耳。又杨书及刘徽本经，并于术曰为法除之下有所得加表高五字。今朝鲜重刊本无此句，而于案内云：必须更加表高方准。此又彼中钞本夺落之。故。其后题则杨本九章，以表望山术而变通诸数也。外此凡字误数误，洎夫图与式诸误，悉各铁出，别记于后。闲有术义隐晦莫揭其恉，亦各&诠并坿后次。祖序玉鉴谓朱氏复游广陵，踵门而学者云集。夫既曰云集，当不止一二人。曾几何时，而学者姓氏莫知谁何，一无可考。兹吾乡从事朱氏，学者又复云集，惧后之无可考亦如今。用是胪列。其究心游艺同治四元，则有江都沈与九龄、田季华、普实天长岑绍周，建功。暨其从子秋般淦、全椒金禺谷。

望欣。

天长乃唐割江都、六合、高邮地所置，初为千秋县，寻改今名，本吾郡属邑。全椒则在隋即属江都郡。当朱氏游广陵，其时二邑尚同隶扬州路，故岑与、金均得称吾郡人。其督工校雠，则有仪征陈朴生辂、毕蕴斋，光琦而此书之得以复归吾郡者，为甘泉汪孟慈喜孙倡其始皆有功于朱氏者焉。校毕，因书此于简末，以见是书之可宝，兼知源流云。道光已亥七月既坚，惟扬后学罗士琳茗香识。