算学启蒙 新编算学启蒙总括

释九数法

一一如一，一二如二，二二如四，一三如三，二三如六，三三如九，一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六，一五如五，

二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五，

一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六，一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九，一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四，一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。

九归除法按古法多用商除，为初学者难入，则后人以此法代之，即非正术也。

一归如一进，九一进成十，二一添作五，逢二进成十，三一三十一，三二六十二，逢三进成十，四一二十一，四二添作五，四三七十二，逢四进成十，五归添一倍，逢五进成十，六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二。逢六进成十，七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进一十，九归随身下，逢九进成十。

斤下留法斤下带两者，当以十六约之，今则就省，以此代之也。

一退六二五，二留一二五，三留一八七五，四留二五，五留三一二五，六留三七五，七留四三七五，八留单五，九留五六二，五十留六二，五十一留六八七，五十二留七五。十三留八一二五，十四留八七五，十五留九三七五。

明纵横诀

一纵十横，百立千僵，千十相望。

万百相当，满六已上，五在上方。

六不积聚，五不单张，言十自过。

不满自当。若明此诀，可习九章。

大数之类凡数之大者，天莫能盖，地莫能载，其数不能极，故谓之大数也。

一十百、千万、十万、百万、千万、万万曰亿，万万亿曰兆，如前呼之，一亿、十亿、百亿、干亿、万亿、十万亿、百万亿、千万亿、万万亿曰垂是也。后仿此。夏不繁说。万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙；万万恒河沙曰阿僧祗；万万阿僧祇曰那由他。万万那由他曰不可思议；万万不可思议曰无量数。

小数之类凡数之小者，视之无形，取之无像，数亦不能尽，故谓之小数也。

一分厘、毫、丝、忽、微、纤沙万万尘曰沙，万万埃曰尘，万万以曰埃。万万漠曰渺，万万糢糊曰漠。万万逡巡曰糢糊。万万须臾曰逡巡，万万瞬息曰须臾，万万弹指曰瞬息，万万刹那曰弹指。万万六德曰刹邦，万万虚曰六德，万万空曰虚。万万清曰空，万万净曰清。千万净、百万净、十万净、万净、千净、百净、十净、一净。

求诸率类

两求铢二十四乘，铢求两二十四除。斤求两身外加六，两求斤身外减六。

秤求斤身外加五，斤求秤身外减五。据物卖钱而用乘，据钱买物而用除。

斛斗起率

量起于圭，六粒之粟。十圭谓之一撮。十撮谓之一抄，十抄谓之一勺。

十勺谓之一合，十合谓之一升。十升谓之一斗，十斗谓之一斛。

斤秤起率

衡起于黍，形大如粟。十黍谓之一絫。十絫谓之一铢，六铢谓之一分。

四分谓之一两，十六两谓一斤。十五斤谓一秤，三十斤谓一钧。

四钧谓之一硕。重一百二十斤。

端匹起率

度起于忽，蚕吐之丝。十忽谓之一丝。十丝谓之一毫，十毫谓之一厘。

十厘谓之一分，十分谓之一寸。十寸谓之一尺，十尺谓之一丈。

匹率或三二，或二丈，丈四。端率

或五丈五，或四丈八。

田亩起率

田起于忽，阔一寸，长六寸。十忽谓之一丝。十丝谓之一毫，门毫谓之一厘。

十厘谓之一分，十分谓之一亩。百亩谓之一顷，三百步谓二里。

按亩法阔一步长二百四十步当自方五尺为步也其里法三百步为里者当自方六尺为步若三百六十步为里者当以自方五尺为步也

古法圆率

周三尺，径一尺。

刘徽新术刘徽乃魏人也，立此新术，以究圆之幽微。

周一百五十七尺，径五十尺。

冲之密率冲之姓祖，乃宋南徐州从事史，立此密率，亦究圆之微也。

周二十二尺，径七尺。

明异名诀此乃刻漏之数，以巧呼之。

二分之一为中半，三分之一为少半，三分之二为太半，四分之一为弱半，四分之三为强半。

明正负术

其同名相减，则异名相加。正无人负之，负无人正之。

其异名相减，则同名相加。正无人正之，负无人负之。

按九章注云：两算得失相返，要令正负以名之。正算赤，负算黑，不则以邪正为异。其无人者为无对也；无所得减，则使消夺者居位也，人作入非。

明乘除段

长平相并曰和，长平相减曰较。长平相乘曰积，自相乘之曰幂，同名相乘为正，异名相乘为负，平除长为小长，长除平为小平，小长平相并曰小和、小长平相减，余小较、小长平相乘，得一步，为小积。

明开方法

置积为实，及方、廉、隅同加异减开之。