算学启蒙 新编算学启蒙卷中

松庭朱世杰编撰

田亩形段门十六问

今有方田一段，自方九十六步，问为田几何？

答曰：三十八亩四分。

术曰：列九十六步，自乘，得九千二百一十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。

今有直田一段，长四十九步，阔二十四步，问为田几何？

答曰：四亩九分。

术曰：列长四十九步，以阔二十四步乘之，得一千一百七十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。

今有勾股田一段，勾三十六步，即阔。股六十二步，即长。问为田几何？

答曰：四亩六分五厘。

术曰：列股六十二步，以勾三十六步乘之，折半，得一千一百一十六步，为田积也，以亩法而一，合问。

今有梯田一段，东阔四十六步，西阔八十六步，长一百二十五步，问为田几何？

答曰：三十四亩三分七厘半。

术曰：列东阔并入西阔，半之，得六十六步，为停阔，以长步乘之，得八千二百五十，为田积步，以亩法而一，合问。

今有圭田一段，长九十三步，阔三十四步，问为田几何？

答曰：六亩五分八厘七毫半。

术曰：列长九十三步，以阔三十四步乘之，折半得一千五百八十一，为田积步，以亩法而一，合问。

今有圆田一段，周八十四步，径二十八步，问为田几何？

答曰：二亩四分五厘。

术曰：列周八十四步，以径二十八步乘之，得二千三百五十二，以四而一，得五百八十八，为田积步，以亩法而一，合问。

今有圆田一段，不记周步，只云径一十六步，问为田几何？

答曰：八分。

术曰：列径一十六步，自乘，得二百五十六，三之四而一，得一百九十二，为田积。步，以亩法除之，合问。

今有圆田一段，不记径步，只云周五十四步，问为田几何？

答曰：一亩一厘二毫半。

术曰：列周五十四步，自乘，得二千九百二十六，以十二而二，得二百四十三步，为田积也，以亩法而一，合问。

今有皖田一段，下周六十四步，径三十三步，问为田几何？

答曰：二亩二分。

术曰：列周六十四步，以径三十三步乘之，得二千一百一十二，以四而一，得五百二十八，为田积步，以亩法二百四十步除之，皖田、窊田同圆田，法，一也。合问。

今有弧田一段，矢阔一十四步，弦长二十八步，问为田几何？

答曰：一亩二分二厘半。

术曰：列弦长二十八步，加入矢阔一十四步，共得四十二步，以矢阔一十四步乘之，折半，得二百九十四步，为田积也，以亩法二百四十步约之，合问。

今有钱田一段，外周一百八步，内池方九步，问为田几何？

答曰：三亩七分一厘二毫半。

术曰：列外周自乘，得一万一千六百六十四，以十二除之，得九百七十二步，寄位。又列池方九步，自乘，得八十一，以减寄位，余八百九十一，为田积步，以亩法二百四十步约之，合问。

今有方田一段，自方八十四步，内有圆池，周一百四十四步，问为田几何？

答曰：二十二亩二分。

术曰：列八十四步自乘，得七千五十六步，寄位。又列池周步自乘，得二万七百三十六，以十二而一，得一千七百二十八步，为池积，以减寄位，余五千三百二十八，为田积步，以亩法除之，合问。

今有三斜田一段，大斜七十五步，中斜六十步，小斜四十五步，中股长三十六步，问为田几何？

答曰：五亩六分二厘半。

术曰：列大斜七十五步，以中股长三十六步乘之，得二千七百步，折半得一千三百五十，为田积步，以亩法而一，合问。

今有梭田一段，中阔三十四步，长一百八十六步，问为田几何？

答曰：一十三亩一分七厘半。

术曰：列中阔折半，得一十七步，以长一百八十六步乘之，得三千一百六十二，为田积步，以亩法而一，合问。

今有方五斜七八角田一段，只云每面阔二十八步，问为田几何？

答曰：一十六亩。

术曰：副置阔二十八步，上位六之为长，下位倍之为广，乃长广相乘，得九千四百八步，乃是二个四分半积。以二个四分半除之，得三千八百四十，为田积步，以亩法二百四十步除之，合问。

今有环田一段，外周一百四十四步，内周五十四步，实径一十五步，问为古徽、密率田各几何？

答曰：古法六亩一分八厘七毫半。徽术五亩九分二步，一百五十七，分步之一百二十四。密率五亩九分一步。

二十二分步之十。

古法曰：并内外周折半，得九十九步，以实径一十五步乘之，得一千四百八十五，为田积步，以亩法除之，合问徽。

术曰：内外周相减，余半之，得四十五步，又五十乘之，以一百五十七而一，得一十四步一百五十七分步之五十二，为徽径也。通分内子得二千二百五十，于上位，并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得二十二万二千七百五十，以分母一百五十七而一，得一千四百一十八步一百五十七分步之一百二十四，为田积也，以亩法除之，合问。密率曰：内外周相减，余半之，得四十五步，七之得三百一十五，以二十二而一。得一十四步二十二分步之七，为密径也。通分内子得三百一十五，于上位，亦并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得三万一千一百八十五，以二十二而一，得一千四百一十七步二十二分步之一十一，为田积也。以亩法除之，合问。

仓囤积粟门九问

今有仓一所，长三丈八尺，阔一丈二尺五寸，深一丈六尺四寸，问粟几何？

答曰：三千一百一十六斛。

术曰：列长三丈八尺，以阔乘之，得四百七十五，又以深乘之，得七千七百九十，为积尺也。以斛法二尺五寸约之，此依唐时斛法，以今斛考之，有异绿各朝代尺法不同，不可为定法也。合问。

今有平地聚粟，下周三丈六尺，高八尺六寸，问粟几何？

答曰：一百二十三斛八斗四升。

术曰：列下周自乘，得一千二百九十六尺，以高乘之，得一万一千一百四十五尺六寸，以三十六除之，得三百九尺六寸，为积也。以斛法约之，合问。今有仓一所，自方二丈四尺，深一丈，问粟几何？答曰：二千三百四斛。术曰：列方尺自乘，得五百七十六尺，又以深乘之，得五千七百六十尺，为积也。以斛法约之，合问。今有倚壁聚粟，下周一丈八尺，高八尺四寸，问粟几何？答曰：六十斛四斗八升。

术曰：列下周自乘，得三百二十四尺，又以高乘之，得二千七百二十一尺六寸，以十八而一，得一百五十一尺二寸，为积也。以斛法约之，合问。

今有内角聚粟，下周九尺六寸，高六尺二寸，问粟几何？

答曰：二十五斛三斗九升五合二勺。

术曰：列下周自乘，得九十二尺一寸六分，又以高乘之，得五百七十一尺三寸九分二厘，以九而一，得六十三尺四寸八分八厘，为积也。以斛法约之，合问。

今有圆囤一所，周一丈九尺，高八尺七寸，问粟几何？

答曰：一百四斛六斗九升。

术曰：列周自乘，得三百六十一尺，又以高乘之，得三千一百四十尺七寸，以圆法十二而一，得二百六十一尺七寸二分半，为积也。以斛法约之，合问。

今有方仓一所，上方四尺，下方六尺，高一丈二尺，问粟几何？答曰：一百二十一硕六斗。

术曰：上方自乘，下方亦自乘，又上下方相乘，三位并之，得七十六尺，以高乘之，得九百一十二尺，三而一，得三百四尺，为积也。以斛法约之，合问。今有圆囤一所，上周三丈六尺，下周七丈二尺，高二丈，问粟几何？答曰：二千一十六斛。术曰：上周自乘，下周亦自乘，又上下周相乘，三位并之，得九千七十二尺，以高乘之，得一十八万一千四百四十，以三十六而一，得五千四十尺，以斛法约之，合问。

今有粟一百四硕六斗九升，欲作圆囤贮之，满中而粟适尽，令高八尺七寸，问周几何？答曰：一丈九尺。

术曰：列米，以斛法二尺五寸乘之，又以十二乘之，得三千一百四十尺七寸，以高八尺七寸除之，得三百六十一，为实，以一为廉法，平方开之，得周，合问。

双据互换门六问

今有织匠二十四人，一百九十二日，织锦一千一百五十二匹，欲令六十二人织三百六十曰。问织锦几何？答曰：五千五百八十匹。

术曰：列三百六十日，以六十二人乘之，又以织锦匹数乘之，得二千五百七十一万二千六百四十，为实。列一百九十二日，以二十四人乘之，得四千六百八为法，实如法而一，合问。今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，欲令三十一人织二千七百九十匹，问几日？毕？答曰：一百八十日。术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。五百七十六匹，以三十一人乘之，得一万七千八百五十六，为法，实如法而一，合问。

今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，今一百八十日织二千七百九十匹，问织匠几何？

答曰：三十一人。

术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。一百八十日，以五百七十六匹乘之，得一十万三千六百八十为法，实如法而一，合问。

今有盐丁九人，七日煎盐五十五引五十斤，今增一百八十五人煎四十八日，问得盐几何？

答曰：八千一百四十八引。

术曰：列一百八十五人，答入九人，得一百九十四人，以四十八日乘之，又以五十五引一分二厘半乘之，引下分者，乃四百斤约之。得五十一万三千三百二十四，为实。列九人，以七日乘之，得六十三，为法，实如法而一，合问。

今有船载物，装重五百斤，行路八十里，脚钱一百五十文。今载八万六千斤，欲行三千四百里，问与脚钱几何？答曰：一千九十六贯五百文。

术曰：列八万六千斤，以三千四百里乘之，又以一百五十文乘之，得四百三十八亿六千万，为实。又列五百斤，以八十里乘之，得四万为法，实如法而一，合问。双据互换之法，学者少识所乘所除之理。前问织锦三术，返复还源备矣。此问与前盐义同，而今有之，及雇车行道相类也，故引草证，使习算者无疑矣。

今有黍一硕五斗，变米八斗四升，每米四斗五升，造酒七斗八升。今欲造酒二十五硕七斗七十五分斗之一十七。问用黍几何？

答曰：二十六硕五斗。

术曰：列二十五硕七斗，通分内子一十七，得一万九干二百九十二，以一硕五斗乘之，又以四。斗五升乘之，得一百三十万二千二百一十，为实。列米八斗四升，以酒七斗八升乘之，又以分母七十五乘之，得四千九百一十四，为法，实如法而一，合问

求差分和门九问

今有鸡、兔一百，共足二百七十二只，只云鸡足二，兔足四。问鸡、兔各几何？

答曰：鸡六十四只，兔三十六个。

术曰：列一百，以兔足乘之，得数，内减共足，余一百二十八为实。列鸡、兔足，以少减多，余二为法，而一，得鸡，反减一百，即兔合问。

又术曰：倍一百，以减共足，余半之，即兔也。

今有钱二十九贯六百八十七文五分，共买蜜蜡一百四十六斤六两，只云蜡斤价三百八十文，蜜斤价六十八文。问各几何？

答曰：蜜八十三斤二两，蜡六十三斤四两。

术曰：列蜜蜡共数，斤下留两，以蜡斤价乘之，得五十五贯六百二十二文五分，内减今有钱，余二十五贯九百三十五文，为实。列蜜蜡斤价相减，余三百一十二文，为法，实如法而一，得蜜斤下分者身外，加六为两，反减共数，余即蜡也。合问。

今有粟米一十七硕三升，直钱一十九贯四百三文。只云：粟斗价七十五文，米斗价一百六十四文。问各几何？

答曰：米七硕四斗五升，粟九硕五斗八升。

术曰：列粟米共数，以粟斗价乘之，得一十二贯七百七十二文五分，以减直钱，余六贯六百三十文五分，为实。列粟米斗价相减，余八十九文为法，实如法而一，得米，反减共数，余即粟也。合问：

今有金瓶一十二只，银瓶一十五只，秤之重适等，交换一只，有秤之金轻五两七钱半。问二色各一重几何？

答曰：金瓶一只，重二十八两七钱半；银瓶一只，重二十三两。

术曰：副置五两七钱半，上位十五乘之，下位十二乘之，各自为实，列金、银瓶，以少减多，余三只为法，各实如法而一，上为金瓶重，下为银瓶重。合问：今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文。问二色尺价各几何？答曰：罗尺价一百六十二文，绫尺价一百二十六文。术曰：置绫九尺，以三十六文乘之，得三百二十四文，为实。列绫、罗尺数相减，余二尺，为法实如法而一，得罗尺价，内减不及，余即绫尺价也。合问。

今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何？日追及之。

答曰：二十日。

术曰：列一十二日，以一百五十里乘之，得一千八百里。为实，列良、驽马日行里数相减，余九十里，为法，实如法而一。合问。

今有金银一百铤，直钱一千七百二贯七百五十文。只云金一铤之价，买银七铤，二色两价差七百五十文。问金银及两价各几何？铤率各五十两。

答曰：金二十八铤三十七两，每两价钱八百七十五文。银七十一铤，一十三两。

每两价钱一百二十五文

术曰：列银七铤，以铤率通之，得三百五十两，以差七百五十乘之，得二十六万二千五百，为实，以三百两为法，实如法而一，得金两价也。为法之数，乃银三百五十两，内减金五十，而余数也。内减。差，即银两价。又列一百铤通两，以金两价乘之，得数，内减直钱，余二千六百七十二贯二百五十文，为差实，以差七百五十文为法，除之，得银两数，反减五千两，余，即金两数也。各以铤率约之。合问。

今有油一秤，二斤三两半，欲点醮灯，只云四盏用油三两，三瓯用油五两，须令盏数倍之瓯数。问瓯、盏及油各几何？

答曰：瓯八十七只，油九斤一两。盏一百七十四只。

油八斤二两半。

术曰：依三两五两。左行互乘右行，左上倍之，得图布算四盏，三瓯。一十八，左下得二十，并之得三十八，为法，左行相乘，得十二，为乘法。列共油通两内子，得二百七十五两半，以十二乘之，得三千三百六，为实，实如法而一，得瓯数，倍之，为盏数也。求油者，以异乘同除求之。合问。

今有竹七节，下二节容米三升，上三节容米二升。问中二节及逐节各容几何？

答曰：下初一升，二十七分升之十六；次一升，二十七分升之十一，次一升，二十七分升之六，次一升，二十七分升之一，次二十七分升之二十三，次二十七分升之十八，次二十七分升之十三。

术曰：依三升，二升。左行互乘右行，得数，以少减图布算二节三节。多余五，为差实，乃逐节差数也。分母相乘，得六，为乘法，又并三节、二节，半之，得二节半，以减七节，余四节半，以分母六乘之，得二十七，为法，乃一升之分母。实如法而一，得一升，即衰相去也。列二十七，以三升乘之，得八十一，加差五得八十六，半之，得一升二十七分升之十六，乃是下初节所容之数，递减逐节差，即得。合问。

差分均配门十问

今有甲、乙、丙共分息钱四十五贯三十六文。甲元钱五十八贯，乙元钱四十五贯，丙元钱三十六贯。问各分息。钱几何？

答曰：甲一十八贯七百九十二文，乙一十四贯五百八十文，丙一十一贯六百六十四文。

术曰：列甲元钱五十八贯，以息钱四十五贯三十六文乘之，得二千六百一十二贯八十八文；又列乙元钱四十五贯，以四十五贯三十六文乘之，得二千二十六贯六百二十文。又列丙元钱三十六贯，亦以四十五贯三十六文乘之，得一千六百二十一贯二百九十六文。各为列实，并各人元钱共得一百三十九贯，为法，实如法而一，各得分钱之数。合问：

今有甲、乙、丙出丝织罗五十四匹二丈四尺。甲丝九斤八两，乙丝八斤一十两，丙丝七斤六两。问各分罗几何？匹法一十六尺。答曰：甲二十匹一丈二尺，乙一十八匹一丈五尺，丙一十五匹二丈三尺。术曰：置罗全匹通尺内子，得一千四百二十八丈，各以元丝通两内子乘之，甲得二十一万七千五十六，乙得一十九万七千六十四，丙得一十六万八千五百四，各为列实，并各人丝得四百八两，为法，各实如法而一，即得。各以匹法约之，合问：

今有甲、乙、丙共分米三十三硕八升，须令甲四乙三丙一分之，问各几何？

答曰：甲一十六硕五斗四升，乙一十二硕四斗五合，丙四硕一斗三升五合。

术曰：各以分率乘共米，甲得一千三百二十三分二厘，乙得九百九十二分四厘，丙得三百三十分八厘，各为列实，并各人分率得八，为法，各实如法而一，得合问。

今有甲、乙、丙共分钱七十一贯九百文，只云乙如甲五分之三，却多如丙钱一贯八百文。问各得几何？

答曰：甲三十三贯五百文，乙二十贯一百文，丙一十八贯三百文。

术曰：列共分钱内虚，加一贯八百，得七十三贯七百，为实，并各人分率得一十一，为法，而一，得六贯七百，为一分之率。副置上位，五之，得甲钱，下位三之，得乙钱。乙钱内减一贯八百，余即丙钱。合问。

今有甲、乙、丙相合查盐，甲三千六百五十引，乙二千一百五十引，丙一千九百五十引。今盐不敷，止查得四千六百五十引，问各人分盐几何？

答曰：甲二千一百九十引，己一干二百九十引，丙一千二百七十引。

术曰：各列元引，以止查盐数乘之，甲得一千六百九十七万二千五百，乙得九百九十九万七千五百，丙得九百六万七千五百，各为列实，并各人元引得七千七百五十，为法，各实如法而一，合问：

今有银一秤，一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问各得几何？

答曰：甲一百五十二两，乙七十六两，丙三十八两。

术日：置银通两，内子得二百六十六两，为实，并各人分数得七为法，实如法而一，得丙银，倍之为乙银，又倍即甲银。合问：

今有甲、乙、丙、丁分丝五百四十四斤，从上作四六差分之，问各得几何？

答曰：甲二百五十斤，乙一百五十斤，丙九十斤，丁五十四斤。

术曰：置甲率一千，以六因之，得六百，为乙率，又六因得三百六十，为丙率，又六因得二百一十六，为丁率。四位共并，得二千一百七十六，为法，列共丝通两，以一千乘之，得八百七十万四千，为实，实如法而一，得四千两，为甲丝，六之得乙丝二千四百两。又六之，得丙丝一千四百四十两，又六之，得丁丝八百六十四两，各斤率约之，合问。

今有官䌷丝四千八百六十斤，欲织西锦，令甲、乙、丙、丁、戊、己六局，从上作二八差分之，其锦每匹用丝二斤四两。问分丝织锦各几何？匹法三十二尺。

答曰：丝一千三百一十七斤，四百二十七分

甲斤之一百四十一。锦五百八十五匹一丈五尺；四百二十七，分尺之一百五十五。丝一千五十三斤，

四百二十七分斤之三百。

乙六十九。锦四百六十八匹一丈二尺；四百二十七，分尺之一百二十四。丝八百四十三斤，

四百二十七分斤之三十。

丙九。锦三百七十四匹二丈二尺；四百十七，分尺之二百七十。丝六百七十四斤，

四百二十七分斤之二百。

丁二，锦二百九十九匹二丈四尺；四百二十七，分尺之二百一十六。丝五百三十九斤，

四百二十七分斤之二百。

戊四十七。锦二百三十九匹二丈六尺；四百二十七分尺之二。丝四百三十一斤，

四百二十七，分斤之二百。

己八十三。锦一百九十一匹二丈七尺

四百二十七，分尺之八十七。

术曰：置甲率一十万，乙率八万，丙率六万四千，丁率五万一千二百，戊率四万九百六十，己率三万二千七百六十八，为差，副并得三十六万八千九百二十八，为法，以丝四千八百六十斤乘未并者，甲得四亿八千六百万，乙得三亿八千八百八十万，丙得三亿一千一百四万，丁得二亿四千八百八十三万二千，戊得一亿九千九百六万五千六百，已得一亿五千九百二十五万二千四百八十，各为列实。各实如法而一。不满法者，各以八百六十四约之，各得分丝之数也。

求锦者，置二斤通两内子，得三十六两，以分母四百二十七乘之，得一万五千三百七十二，为法。各列丝通分内子得数，各以十六乘之，甲得九百万，乙得七百二十万，丙得五百七十六万，丁得四百六十万八千，戊得三百六十八万六千四百，已得二百九十四万九千一百二十，各自为实实。如法而一，得匹。实不满法，以匹法三十二乘之，如前法而一，得尺。不满法者，各以三十六约之，合问。

今有某州所管九等税户，甲等三百六十四户，乙等三百九十六户，丙等四百三十二户，丁等五百七十户，戊等五百八十四户，己等六百七十六户，庚等八百五十户，辛等九百二十户，壬等一千六百八户，今科粮六万五千六百六十四硕，今作等数，各差一硕六斗配之。问：每户及逐等各几何？

答曰：甲每户一十八硕五斗三升二合半，三百六十四户，共六万七千四百五十八斗三升。乙每户一十六硕，九斗三升二合半；三百九十六户，共六万七干五十二斗七升。丙每户一十五硕，三斗三升二合半；四百三十二户，共六万六千二百三十六斗四升。丁每户一十三硕七斗三升二合半；五百七十户，共七万八千二百七十五斗二升半。戊每户一十二硕一斗三升二合半；五百八十四户，共七万八百五十三斗八升。已每户一十硕五斗三升二合半；六百七十六户，共七万千一百一九十九斗七升。庚每户八硕九叫三升二合半，八百五十户，共七万五工九百二十六斗二升半。辛每户七硕三斗三升二合半，九百二十户，共六万七千四百五十九斗。壬每户五硕七斗三升二合半。

一千六百八户，共九万二千一百七十八斗六升。

术曰：列甲等户三百六十四，八之得二千九百一十二，列乙等户三百九十六，七之得二千七百七十二；列丙等户四百三十二，六之得二千五百九十二；列丁等户五百七十，五之得二千八百五十；列戊等户五百八十四，四之得二千三百三十六；列已等户六百七十六，三之得二千二十八；列庚等户八百五十，倍之得一千七百；列辛等户九百二十，以一因之，得九百二十。共并八位，得一万八千一百一十。以差一硕六斗乘之，得二十八万九千七百六十，为抛差，并共户得六千四百，以率户粮一十硕二斗六升乘之，若是均科，每户得一十硕二斗六升也。得六十五万六千六百四十。内减抛差，余三十六万六千八百八十，为实，以共户六千四百为法，实如法而一，得壬等每户之数，各加差一硕六斗，得逐等每户之粮数。求各等共粮者，以各户粮数乘其各等之户，合问。

今有某县配粟一万八百七十硕八升，于上、中下三乡，从上作折半差配之。谓如上乡六硕，中乡三硕，下乡一硕五斗。又上乡三等作九一折，中乡三等作二八折，下乡三等作三七折。上乡上等五十六户，中等七十四户，下等九十八户。中乡上等八十二户，中等一百二十户，下等一百六十户。下乡上等九十五户，中等一百七十二户，下等一百八十户。问三乡九等各粟几何？

答曰：上乡二百二十八户，共五千二百五十一硕四斗八升。上等每户二十六硕，五十六户，共一千四百五十六硕。中等每户二十三硕四斗；七十四户，共一千七百三十一硕六斗。下等每户二十一硕六升。

九十八曰，共二千六十三硕八斗八升。

中乡三百六十二户共三千六百四十五硕二斗。上等每户一十三硕，八十二户，共一千六十六硕。中等每户一十硕四斗；一百二十户，共一千二百四十八硕。下等每户八硕三斗二升。

一百六十户，共二千三百三十二硕二斗。

下乡四百四十七户，共一千九百七十三硕四斗。上等每户六硕五斗，九十五户，共六百一十七硕五斗。中等每户四硕五斗五升；一百七十二户共七百八十二硕六斗。下等每户三硕一斗八升半百。

八十占，共五百七十三硕三斗。

术曰：列配粟，以一万乘之，得一十亿八千七百万八千，为实，并九等户分数，得四百一十八万八百，为法，实如法而一，得上乡上等每户之数，折半得中乡上等每户之数，又折半得下乡上等每户之数。上乡递用九因，中乡递用八因，下乡递用七因，各得逐等每户之数也。

草曰：先列上乡上等五十六户，以一万乘之，得五十六万。又列中等七十四户，以九千乘之，得六十六万六千。又列下等九十八户，以八千一百乘之，得七十九万三千八百。又列中乡上等八十二户，以五千乘之，得四十一万。又列中等一百二十户，以四千乘之，得四十八万。又列下等一百六十户，以三千二百乘之，得五十一万二千。又列下乡上等九十五户，以二千五百乘之，得二十三万七千五百。又列中等一百七十二户，以一千七百五十乘之，得三十万一千。又列下等一百八十户，以一千二百二十五乘之，得二十二万五百。九位共并，得四百一十八万八百，为法。列配粟一万八百七十硕八升，以一万乘之，得一十亿八干七百万八千，为实。实如法而一，得二十六硕，乃上乡上等每户之数；九因得二十三硕四斗，乃中等每户之数；又九因得二十一硕六升，乃下等每户之数。又列上乡上等每户粟二十六硕，折半得一十三硕，乃中乡上等每户之数，八因得一十硕四斗，乃中等每户之数；又八因得八硕三斗二升，乃下等每户之数。又列中乡上等每五粟一十三硕，折半得六硕五斗，乃下乡上等每户之数；七因得四硕五斗五升，乃中等每户之数；又七因得三硕，一云八升五合，乃下等每户之数。各以每户之率乘其各等之户，即得共粟合问。

商功修筑门十三问

今有穿地积三百六十尺，问为坚壤各几何？

答曰：坚二百七十尺，壤四百五十尺。

术曰：列三百六十尺，以筑坚三尺因之，得一千八十尺，以穿地四尺除之，得二百七十尺，为坚也。又列三百六十尺，以壤五尺因之，得一千八百尺，亦以穿地四尺除之，得壤也。合问。

今有城高四丈六尺，下广三丈六尺，上广一丈八尺，袤六十四里，问积几何？

答曰：一亿四千三百七万八千四。百尺。

术曰：并上下广而半之，得二十七尺，上下停也。以高四丈六尺乘之，得一千二百四十二尺于上位。又列袤六十四里，以尺里法一千八百通之，得一十一万五千二百尺，以乘上位，得城积尺也。合问。

今有墙，下广四尺，上广三尺，高九尺，袤二里五十步，问积几何？

答曰：一十二万一千二百七十五尺。

术曰：列下广，并入上广，折半，得三尺五寸，乃上下停阔也。以高九尺乘之，得三十一尺五寸，寄位。又列袤二里，以三百六十步通之，内子得七百七十步，以五尺因之，得三千八百五十尺，以乘寄位，得墙积尺也。合问。

今有垣积六万八千八百八十六尺，只云上广二尺二寸，下广三尺八寸，袤一里一百四十五步。问高几何？

答曰：八尺六寸。

术曰：置积为实，列袤一里，以古法三百步通之，内子得四百四十五步，又以步尺法六因之，得二千六百七十尺，为法，实如法而一，得二十五尺八寸。又并上下广折半，得三尺，除之，即高。合问。

今要开河，下广一丈八尺七寸，上广二丈六尺三寸，深一丈五尺，袤三十六里二百八十五步。春程人功五百九十八尺，除出土功七分之二。问用徒几何？

答曰：五万二千五百五十一人。五百九十八分人之四百七十七

术曰：列程功五百九十八尺，五之，七而一，得定功四百二十七尺，七分尺之一也。并上下广而半之，得二丈二尺五寸，以深一丈五尺乘之，得三百。三十七尺五寸，寄位。列袤三十六里，以古法三百步通之，内子得一万一千八十五步，六之通尺，得六万六千五百二十尺，以乘寄位得。二千二百。四十四万七千一百二十五尺，为河积也。以分母七之，得一亿五千七百一十二万九千八百七十五为实，又列定功四百二十七尺，通分内子，得二千九百九十，为法，实如法而一，不满法者，各以五约之，合问。

今要筑堤，上广六尺四寸，下广一丈五尺六寸，高六尺，袤三里七十四步，冬程人功三百六十四尺，问共用徒几何？

答曰：一千五十九人。九十一，分人之五十七。

术曰：并两广而半之，得一丈一尺，为停阔也。以高六尺乘之，得六十六尺于上位。又列袤三里，以古法三百步通之，内子得九百七十四步，又以尺法六因之，得五千八百四十四尺，以乘上位，得三十八万五千七百四尺，为堤积也。以人功三百六十四尺为法，实如法而一，不满法者，各以四约之，即得。合问。

今有方堡𭎜，自方二十四尺，高二丈一尺，问积尺几何？

答曰：一万二千九十六尺。

术曰：列方二十四尺，自乘，得五百七十六尺，又以高二丈一尺乘之，得一万二千九十六尺，为积也。合问。

今有圆堡𭎜周三丈七尺，高一丈四尺，问积尺几何？

答曰：一千五百九十七尺。六分尺之一。

术曰：列周三丈七尺，自乘，得一千三百六十九尺，又以高一丈四尺乘之，得一万九千一百六十六尺。以圆法十二而一，不满法者各半之，合问。

今有方亭台一所，上方二丈八尺，下方三丈二尺，高四丈六尺，问积尺几何？

答曰：四万一千四百六十一尺。少半尺。

术曰：上方自乘，下方亦自乘，又上下方相乘，三位并之，共得二千七百四尺，又以高四丈六尺乘之，得一十二万四千三百八十四尺，以三而一，不满法者命之，合问。

今有圆亭台一所，下周四丈二尺，上周二丈九尺，高三丈八尺，问积几何？

答曰：四千三十五尺一十八分尺之七。

术曰：下周自乘上周，亦自乘，又上下周相乘，三位并之。共得三千八百二十三尺，又以高三丈八尺乘之，得一十四万五千二百七十四尺，以三十六而一，不满法者各半之，合问。

今有方锥，下方二丈五尺，高二丈八尺，问积尺几何？

答曰：五千八百三十三尺。少半尺。

术曰：列下方二丈五尺，自乘，得六百二十五尺，又以高二丈八尺乘之，得一万七千五百尺，以三而一，不满法者命之，合问。

今有圆锥，下周五丈四尺，高三丈七尺，问为古、徽、密三积各几何？

答曰：古积二千九百九十七尺，徽积二千八百六十三尺，一百五十七，分尺之五十九。密积二千八百六十尺。

二十二，分尺之一十七。

古法曰：列下周五丈四尺，自乘，得二千九百一十六尺，以高三丈七尺乘之，得一十万七千八百九十二尺，为实，以三十六为法，实如法而一，得古积。合问徽。

术曰：下周自乘，又高乘之，又以二十五乘之，得二百六十九万七千三百，为实，以九百四十二为法，实如法而一，为法数者，乃圆法十二乘半，徽周七十八分半，故为法也。不满法者，各以六约之，得徽积。合问。

密术曰：下周自乘，又高乘之，又以七因之，得七十五万五千二百四十四，为实，以二百六十四为法，实如法而一，为法之数，乃圆法十二乘，密周二十二，故为法。不满法者，各以十二约之，合问。

今欲筑圆城一座，内周二十六里二百一十九步，厚三步半，除水门四处，各阔四步，旱门四处各阔二步四尺。只云从城外边每二步二尺安ru头三枚。问共安ru头几何？里步尺率，各依古法。

答曰：一万三百二枚。七分枚之六。

术曰：列内周通里内子，得八千一十九步。于上位倍厚步三之，加上位，以六尺因之。得四万八千二百四十尺。乃城外周之数。寄位列水门阔四步，六之，又四之，得九十六尺，以减寄位。又列旱门阔二步，以六因之，内子四，又四之，得六十四尺，又减寄位，余四万八千八十尺，乃城外周合安ru头之数。三之得一十四万四千二百四十，为实，又列二步六之，内子二，得一十四尺，为法，实如法而一，不满法者各半之，合问。

贵贱反率门八问

今有钱三百四十五文，共买檀乳香一百四十两，只云乳香两价贵如檀香两价一文。问二色各几何？

答曰：檀香七十五两，两价二文。乳香六十五两。

两价三文。

术曰：列钱数为实，以一百四十两为法，实如法而一，得二文，乃檀香两价，加一文，即乳香两价。余实六十五，为乳香数也。反减下法，余七十五，即檀香数也。合问。按此其率者以钱为实物为法实如法而一所得为贱率价加一文即贵率价余实则贵物数反减下法余法为贱物数也其积铢当以石钧秤斤两铢法约之其反率者以物为实钱为法，实，如法而二，所得为贵物，加一即贱物；不满法者，余实则化为钱，乃贱价也。反减下法，余法为贵价，余实、余法相并，得共钱也。

今有钱八百四十文，买核桃七千二百九十枚，欲其贵贱率之，问各几何？

答曰：其二千一百六十枚，八枚直钱一文。其五千一百三十枚。

九枚直钱一文。

术曰：列核桃为实，以钱八百四十为法，实如法而一，得八枚直钱一文，就加一枚，乃九枚直钱一文。余实五百七十，反减下法，余二百七十八之，得贵物数；其不尽五百七十九之，得贱物数。合问。

今有钱一十六贯五百文，买漆一石三钧，一秤四斤五两六铢，欲其贵贱石率之，问各几何？

答曰：其一石三钧四两一十八铢，石价八千六百三十四文。其一秤四斤一十二铢。

石价八千六百三十三文。

术曰：列漆通铢，得八万八千六十二，为法，列钱以四万六千八十乘之，得七亿六千三十二万，为实，实如法而一，得八千六百三十三文，为贱石价，加一文，即贵石价。不尽八万七百五十四，反减下法，余七千三。百八，以秤斤铢法除之，得一秤四斤一十二铢，为贱数。其不尽八万七百五十四，以石钧两铢法除之，得贵数。合问。

今有钱二十五贯三百文，买丝二石二钧一秤三斤四两八铢，欲其贵贱钧率之，问各几何？

答曰：其二石二斤五两八铢，钧价二贯三百八十五文。其二钧一秤一十五两。

钧价二贯三百八十四文。

术曰：列钱以一万一千五百二十乘之，得二亿九千一百四十五万六千，为实，列丝通铢得一十二万二千二百一十六，为法，实如法而一，得二千三百八十四，为贱钧价，内加一文，即贵钧价。不尽九万三千五十六，反减下法，余二万九千一百六十，以钧秤两铢法除之，得二钧一秤一十五两，为贱数。其不尽九万三千五十六，以石斤两铢法除之，得二石二斤五两八铢，即贵数。合问。

今有钱一百贯，买胡椒二十七石一钧一秤三斤一十二两一十八铢，欲其贵贱，秤率之，问得几何？

答曰：其二石二钧八斤一十两，秤价四百五十七文。其二十四石三钧一十斤二两一十八铢。

秤价四百五十六文。

术曰：列椒通铢得一百二十六万二千八百九十八为法，列钱以五千七百六十乘之，得五亿七千六百，为实，实如法而一，得四百五十六文，为贱秤价内加一文，即贵秤价。不尽一十一万八千五百一十二，反减下法，余一百一十四万四千三百八十六，以石钧斤两铢法除之，得二十四石三钧一十斤二两一十八铢，为贱数。其不尽一十一万八千五百一十二，以石钧斤两铢法除之，得二石二钧八斤一十两，即贵数。合问：

今有钱二百五十贯，买桂花一十二石三钧一秤一十三斤九两四铢，欲其贵贱斤率之，问各几何？

答曰：其五石一秤一十三斤五两八铢；斤价一百六十一文。其七石三钧三两二十铢。

斤价一百六十文。

术曰：列钱以三百八十四乘之，得九千六百万为实，列桂花通铢得五十九万八千四百九十二为法，实如法而一，得一百六十文，为贱斤价内加一文，即贵斤价不尽二十四万一千二百八十，反减下法，余三十五万七千二百一十二，以石钧两铢法除之，得七石三钧三两二十铢，为贱数。其不尽二十四万一千二百八十，以石秤斤两铢法除之，得五石一秤一十三斤五两八铢，即贵数。合问。

今有钱三十八贯四百文，买木香一石二钧一十四斤一十四两八铢，欲其贵贱两率，问各几何？

答曰：其二钧一斤四两，两价一十三文。其一石一十三斤一十两八铢。

两价一十二文

术曰：列术香通铢得七万四千八百四十为法，列钱以二十四乘之，得九十二万一千六百，为实，实如法而一，得一十二文，为贱两价内加一文，即贵两价不尽二万三千五百二十，反减下法，余五万一千三百二十，以石斤两铢法除之，得一石一十三斤一十两八铢，为贱数。其不尽二万三千五百二十，以钧斤两铢法除之，得二钧一斤四两，即贵数。合问。

今有钱二十八贯六百八十文，买黄蜡二石三钧一秤三斤六两八铢，欲其贵贱铢率之，问各几何？

答曰：其三钧一十斤二两一十六铢；四铢直钱一文。其二石八斤三两一十六铢。

五铢直钱一文。

术曰：列蜡通铢得一十三万三千七百八十四为实，以钱为法，实如法而一，得四铢。直钱一文，乃贵物也，内加一铢，即贱物也；不尽一万九千六十四，乃贱价也。反减下法，余九千六百一十六，即贵价。四之得三万八千四百六十四。以钧斤两铢法约之，得三钧一十斤二两一十六铢。其不尽一万九千六十四，五之得九万五千三百二十，以石斤两铢法除之，得二石八斤三两一十六铢。合问。

新编算学启蒙卷中